sicm

我们的日常经验表明, 物理运动可以用连续且光滑的位形路径来描述.³ 我们看不到杂耍棒从一个地方跳到另一个地方. 我们也看不到杂耍棒突然改变它的运动方式. 我们的日常经验表明, 物理系统的运动不依赖于系统的整个历史. 如果我们在杂耍棒被抛向空中后进入房间, 我们无法判断它何时离开杂耍者的手. 杂耍者可能在不同的时间和地点以同样明显的效果抛出杂耍棒, 而我们走进门时看到的结果是一样的.⁴ 所以棒的运动不依赖于历史的细节. 我们的日常经验表明, 物理系统的运动是确定性的. 事实上, 少数几个参数总结了系统历史的重要方面, 并决定了系统的未来演化. 例如, 在任何时刻, 杂耍棒的位置, 速度, 方向和方向变化率足以完全确定棒的未来运动.

^{3 4}

从我们对运动的经验中, 我们对可实现的位形路径形成了一定的预期. 如果一条路径是可实现的, 那么该路径的任何片段都是可实现的路径片段. 反之, 如果路径的每个片段都是可实现的, 则该路径是可实现的路径片段. 路径片段的可实现性取决于该片段中路径的所有点. 路径片段的可实现性以相同的方式依赖于路径片段的每个点; 路径的任何部分都不是特殊的. 路径片段的可实现性仅取决于该片段内路径上的点; 路径片段的可实现性是一个局部性质. 因此, 路径区分函数聚合了在路径片段上每个时刻测量的系统的某个局部性质. 路径上的每个时刻必须以相同的方式处理. 来自路径片段上每个时刻的贡献必须以一种保持不相交子片段贡献独立性的方式组合起来. 满足这些要求的一种组合方法是将这些贡献相加, 使路径区分函数成为路径片段上某个局部性质的积分.⁵ 因此, 我们将尝试安排路径区分函数, 它被构造为路径上局部性质的积分, 对于任何可实现路径都取极值. 这样的路径区分函数传统上称为系统的作用量 (action). 我们使用“作用量”这个词是为了与通用用法保持一致. 也许继续称其为“路径区分函数”会更清晰, 但那样其他人就更难知道我们在说什么了.⁶ 为了推进变分力学的议程, 我们必须发明作用量函数, 这些函数在我们正在研究的系统的可实现轨迹上是平稳的. 我们将考虑在每个时刻都是位形路径某个局部性质的积分的作用量. 令 \(\gamma\) 为位形路径函数; \(\gamma(t)\) 是时间 t 时的位形.

^{5 6}

路径 \(\gamma\) 在时间区间 \(t_1\) 到 \(t_2\) 的作用量是⁷ \[ S[\gamma](t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} F[\gamma] \quad (1.1) \] 其中 \(F[\gamma]\) 是一个时间的函数, 它测量路径的某个局部性质. 它可能取决于函数 \(\gamma\) 在该时刻的值以及 \(\gamma\) 在该时刻的任何导数的值.⁸ 位形路径可以在某个时刻局部地通过位形, 位形的变化率, 以及给定时刻位形的所有更高阶导数来描述. 给定这些信息, 路径可以在包含该时刻的某个区间内重建.⁹ 路径的局部性质最多只能依赖于路径的局部描述. 函数 \(F\) 测量位形路径 \(\gamma\) 的某个局部性质. 我们可以将 \(F[\gamma]\) 分解为两部分: 一部分测量局部描述的某个性质, 另一部分从路径函数中提取路径的局部描述. 测量系统局部性质的函数取决于特定的物理系统; 从路径构造路径局部描述的方法对于任何系统都是相同的. 我们可以将 \(F[\gamma]\) 写成这两个函数的复合:¹⁰ \[ F[\gamma] = L \circ T[\gamma]. \quad (1.2) \]

^{7 8 9 10}

函数 \(T\) 接受路径并产生一个时间的函数. 它的值是一个有序元组, 包含时间, 该时刻的位形, 该时刻位形的变化率, 以及路径在该时刻求值的高阶导数的值. 对于路径 \(\gamma\) 和时间 \(t\):¹¹ \[ T[\gamma](t) = (t, \gamma(t), D\gamma(t), \dots) \quad (1.3) \] 我们将此元组称为局部元组 (local tuple), 它包含所需数量的导数. 函数 \(L\) 取决于所研究物理系统的具体细节, 但不依赖于任何特定的位形路径. 函数 \(L\) 计算路径的一个实值局部性质. 我们会发现 \(L\) 只需要局部元组的有限个分量来计算这个性质: 路径可以从完整的局部描述中局部重建; \(L\) 依赖于局部元组的有限个分量保证了它测量的是一个局部性质.¹² 这种分解的优点在于, 路径的局部描述是通过一个统一的过程从位形路径计算出来的, 独立于所考虑的系统. 所有系统特定的信息都被包含在函数 \(L\) 中. 函数 \(L\) 称为系统的拉格朗日量 (Lagrangian)¹³, 产生的作用量为, \[ S[\gamma](t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} L \circ T[\gamma], \quad (1.4) \]

^{11 12 13}

称为拉格朗日作用量 (Lagrangian action). 拉格朗日量可以被找到用于各种各样的系统. 我们将看到, 对于许多系统, 拉格朗日量可以取为动能和势能之差. 这样的拉格朗日量仅依赖于时间, 位形, 以及位形的变化率. 我们将重点关注这类系统, 但也会不时考虑更一般的系统. 系统的可实现路径通过相对于附近不可实现路径集合具有平稳作用量而与其他路径区分开来. 现在, 一些靠近可实现路径的路径也将是可实现的: 对于杂耍棒的任何运动, 都有一个略有不同的运动. 因此, 在解决作用量相对于路径变分是否平稳的问题时, 我们必须以某种方式限制我们正在考虑的路径集合, 使其只包含一条可实现路径. 事实证明, 对于仅依赖于位形和位形变化率的拉格朗日量, 限制路径集合为在路径段端点处具有相同位形的路径就足够了. 作用量平稳原理¹⁴ 断言, 对于每个动力学系统, 我们可以构建一个拉格朗日量, 使得连接两个时间 \(t_1\) 和 \(t_2\) 处位形的可实现路径 \(\gamma\) 通过以下事实与其他所有可想象的路径区分开来: 作用量 \(S[\gamma](t_1, t_2)\) 相对于路径的变分是平稳的. 对于仅依赖于位形和位形变化率的拉格朗日量, 变分被限制为那些保持 \(t_1\) 和 \(t_2\) 处位形不变的变分.¹⁵

^{14 15}

费马观察到反射和折射定律可以用以下事实来解释: 光在任何特定介质中以直线传播, 其速度取决于介质. 光线从源头通过任何介质序列到达目的地的路径是与邻近路径相比总时间最短的路径. 证明这些事实确实蕴含了反射和折射定律.¹⁶

对于下面描述的每个力学系统, 给出位形空间的自由度数. a. 三个杂耍棒. b. 一个球面摆, 由一个质点悬挂在一根刚性无质量杆上, 杆连接到一个固定的支撑点. 摆锤可以在刚性杆施加的约束下向任何方向移动. 质点受到均匀重力作用. c. 一个球面双摆, 由一个质点悬挂在一根刚性无质量杆上, 杆连接到第二个质点, 第二个质点又悬挂在另一根无质量杆上, 连接到一个固定的支撑点. 质点受到均匀重力作用. d. 一个质点无摩擦地在刚性弯曲线上滑动. e. 一个陀螺, 由一个刚性轴对称体组成, 体上对称轴的一个点连接到一个固定的支撑点, 受到均匀引力作用. f. 与 e 相同, 但非轴对称.

对于练习 1.2 中描述的每个系统, 指定一个可以用来描述系统行为的广义坐标系.

作用量是特定拉格朗日量 L 的位形路径段的性质. 作用量不依赖于用于标记位形的坐标系. 我们可以利用这个性质来找到拉格朗日量 L 的坐标表示 \(L_\chi\). 作用量是 \[ S[\gamma](t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} L \circ T[\gamma]. \quad (1.8) \] 拉格朗日量 L 是局部元组 \(T[\gamma](t) = (t, \gamma(t), D\gamma(t), \dots)\) 的函数. 局部元组具有坐标表示 \(\Gamma[q] = Ξ_\chi \circ T[\gamma]\), 其中 \(q = \chi \circ \gamma\). 因此如果我们选择²⁴ \[ L_\chi = L \circ Ξ_\chi^{-1}, \quad (1.9) \] 那么²⁵ \[ L_\chi \circ \Gamma[q] = L \circ T[\gamma]. \quad (1.10) \] 左边是我们使用坐标表示作为中介的函数复合; 右边是不涉及坐标的两个函数的复合. 我们将作用量的坐标表示定义为 \[ S_\chi[q](t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} L_\chi \circ \Gamma[q]. \quad (1.11) \] 函数 \(S_\chi\) 接受坐标路径; 函数 S 接受位形路径. 由于根据方程 (1.10) 被积函数相同, 积分值也相同: \[ S[\gamma](t_1, t_2) = S_\chi[\chi \circ \gamma](t_1, t_2). \quad (1.12) \] 因此我们有办法构造拉格朗日量的坐标表示, 使得在任何坐标系下路径的作用量都相同. 对于仅依赖于位置和速度的拉格朗日量, 作用量也可以写成 \[ S_\chi[q](t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} L_\chi(t, q(t), Dq(t)) dt. \quad (1.13) \]

^{24 25}

在定义拉格朗日量或作用量时使用的坐标系通常是明确的, 所以下标 \(\chi\) 通常会被省略.

对于自由粒子, 合适的拉格朗日量是³⁸ \[ L(t, x, v) = \frac{1}{2} m v^2. \] 假设 x 是自由粒子的匀速直线路径, 使得 \(x_a = x(t_a)\) 且 \(x_b = x(t_b)\). 证明解路径上的作用量是 \[ \frac{m}{2} \frac{(x_b - x_a)^2}{t_b - t_a}. \]

我们已经知道自由粒子的实际路径是匀速直线运动. 根据欧拉和拉格朗日, 沿直线测试路径的作用量小于沿邻近路径的作用量. 令 q 为作用量为 \(S[q](t_1, t_2)\) 的直线测试路径. 令 \(q + \epsilon \eta\) 为邻近路径, 由 q 加上路径变分 \(\eta\) 乘以实参数 \(\epsilon\) 得到.³⁹ 变分路径上的作用量是 \(S[q + \epsilon \eta](t_1, t_2)\). 欧拉和拉格朗日发现, 对于任何在端点处为零的 \(\eta\) 和任何小的非零 \(\epsilon\), 都有 \(S[q + \epsilon \eta](t_1, t_2) > S[q](t_1, t_2)\). 让我们通过改变测试路径, 加上某个在端点 \(t=t_1\) 和 \(t=t_2\) 处为零的测试函数的量来进行数值验证. 为了构造一个在端点处为零的函数 \(\eta\), 给定一个足够表现良好的函数 \(\nu\), 我们可以使用 \(\eta(t) = (t-t_1)(t-t_2)\nu(t)\). 这可以实现为:

(define ((make-eta nu t1 t2) t)
  (* (- t t1) (- t t2) (nu t)))

我们可以用它来计算自由粒子在给定路径变分下, 作为 \(\epsilon\) 的函数, 在变分路径上的作用量:⁴⁰

(define ((varied-free-particle-action mass q nu t1 t2) epsilon)
  (let ((eta (make-eta nu t1 t2)))
    (Lagrangian-action (L-free-particle mass)
                       (+ q (* epsilon eta))
                       t1
                       t2)))

变分路径的作用量, 其中 \(\nu(t) = (\sin t, \cos t, t^2)\), 且 \(\epsilon = 0.001\), 正如预期的那样, 大于测试路径的作用量:

((varied-free-particle-action 3.0 test-path
                              (up sin cos square)
                              0.0 10.0)
 0.001)

我们可以数值计算使作用量最小化的 \(\epsilon\) 值. 我们在, 比如说, -2 和 1 之间搜索:⁴¹

(minimize
 (varied-free-particle-action 3.0 test-path
                              (up sin cos square)
                              0.0 10.0)
 -2.0 1.0)

我们发现结果正如预期——最佳 \(\epsilon\) 值为零,⁴² 且最小作用量值是沿直线路径的作用量.

我们已经使用变分原理来确定给定轨迹是否可实现. 我们也可以使用变分原理来实际寻找轨迹. 给定一组由有限数量参数指定的轨迹, 我们可以搜索参数空间, 寻找该集合中最能近似真实轨迹的轨迹, 方法是找到使作用量最小化的那一个. 通过选择一组好的近似函数, 我们可以任意接近真实轨迹.⁴³ 一种构造具有固定端点的参数化路径的方法是使用一个通过端点以及若干中间点的多项式. 改变中间点的位置可以改变路径; 变分路径的参数是中间点坐标. 过程 make-path 使用拉格朗日插值多项式构造这样的路径.⁴⁴ 指定了参数化路径后, 我们可以构造一个参数化作用量, 它就是沿参数化路径计算的作用量:

(define ((parametric-path-action Lagrangian t0 q0 t1 q1) qs)
  (let ((path (make-path t0 q0 t1 q1 qs)))
    (Lagrangian-action Lagrangian path t0 t1))))

我们可以通过寻找使作用量最小化的参数来找到近似解路径. 我们使用一个现成的多维最小化过程来完成这个最小化:⁴⁵

(define (find-path Lagrangian t0 q0 t1 q1 n)
  (let ((initial-qs (linear-interpolants q0 q1 n)))
    (let ((minimizing-qs
           (multidimensional-minimize
            (parametric-path-action Lagrangian t0 q0 t1 q1)
            initial-qs)))
      (make-path t0 q0 t1 q1 minimizing-qs))))

为了说明这个策略的用法, 我们将寻找谐振子的轨迹, 其拉格朗日量为⁴⁶ \[ L(t, q, v) = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} k q^2, \quad (1.16) \] 对于质量 m 和弹簧常数 k. 这个拉格朗日量实现为

(define ((L-harmonic m k) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (v (velocity local)))
    (- (* 1/2 m (square v)) (* 1/2 k (square q)))))

我们可以找到谐振子在 \(m=1\) 和 \(k=1\) 时, 在 \(q(0)=1\) 和 \(q(\pi/2)=0\) 之间的近似路径如下:⁴⁷

(define q (find-path (L-Harmonic 1.0 1.0) 0. 1. :pi/2 0. 3))

我们知道, 对于 \(m=1\) 和 \(k=1\), 这个谐振子的轨迹是 \[ q(t) = A \cos(t + \phi) \quad (1.17) \] 其中振幅 A 和相位 \(\phi\) 由初始条件确定. 对于所选的端点条件, 解是 \(q(t) = \cos(t)\). 近似路径应该是 \(\cos\) 在 0 到 \(\pi/2\) 范围内的近似. 图 1.1 显示了该过程产生的多项式近似中的误差. 使用三个中间点的近似中的最大误差小于 \(1.7 \times 10^{-4}\). 我们发现, 正如预期的那样, 随着中间点数量的增加, 近似误差减小. 对于四个中间点, 误差大约好 15 倍.

我们可以通过修改过程 parametric-path-action, 在每次计算作用量时绘制路径, 来观察最小化的过程. 试试这个:

(define win2 (frame 0. :pi/2 0. 1.2))

(define ((parametric-path-action Lagrangian t0 q0 t1 q1)
         intermediate-qs)
  (let ((path (make-path t0 q0 t1 q1 intermediate-qs)))
    ;; display path
    (graphics-clear win2)
    (plot-function win2 path t0 t1 (/ (- t1 t0) 100))
    ;; compute action
    (Lagrangian-action Lagrangian path t0 t1)))

(find-path (L-harmonic 1. 1.) 0. 1. :pi/2 0. 2)

假设我们试图通过最小化一个不可能问题的作用量来获得路径. 例如, 假设我们有一个自由粒子, 并且我们施加了与粒子自由运动不一致的速度和位置端点条件. 形式主义会保护自己免受这种不愉快的攻击吗? 你可能会发现编程并看看会发生什么很有启发性.

我们将会发现, 如果 L 是一个依赖于时间, 坐标和速度的系统的拉格朗日量, 并且如果 q 是一个坐标路径, 其作用量 \(S[q](t_1, t_2)\) 是平稳的 (相对于任何保持路径端点固定的变分), 那么 \[ D(\partial_2 L \circ \Gamma[q]) - \partial_1 L \circ \Gamma[q] = 0. \quad (1.18) \] 这里 L 是一个局部元组的实值函数; \(\partial_1 L\) 和 \(\partial_2 L\) 表示 L 对其广义位置和广义速度参数的偏导数.⁴⁹ 函数 \(\partial_2 L\) 将一个局部元组映射到一个结构, 其分量是 L 相对于广义速度的每个分量的导数. 函数 \(\Gamma[q]\) 将时间映射到局部元组: \(\Gamma[q](t) = (t, q(t), Dq(t), \dots)\). 因此, 复合 \(\partial_1 L \circ \Gamma[q]\) 和 \(\partial_2 L \circ \Gamma[q]\) 是单参数 (时间) 的函数. 拉格朗日方程断言 \(\partial_2 L \circ \Gamma[q]\) 的导数等于 \(\partial_1 L \circ \Gamma[q]\), 在任何时刻. 给定一个拉格朗日量, 拉格朗日方程构成一个必须由可实现路径满足的常微分方程组.⁵⁰

我们将证明作用量平稳原理意味着可实现路径满足一组常微分方程. 首先, 我们将开发工具来研究路径依赖函数如何随路径变化而变化. 然后, 我们将把这些工具应用于作用量, 以推导拉格朗日方程.

推导以下系统的拉格朗日方程, 展示所有中间步骤, 就像我们在谐振子和轨道运动示例中所做的那样. a. 一个质量为 m 的粒子在二维势 \(V(x, y) = (x^2 + y^2)/2 + x^2y - y^3/3\) 中运动, 其中 x 和 y 是粒子的直角坐标. 该系统的拉格朗日量是 \(L(t; x, y; v_x, v_y) = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) - V(x, y)\). b. 一个理想的平面摆由质量为 m 的摆锤通过长度为 l 的无质量杆连接到枢轴, 受到均匀引力加速度 g 的作用. 该系统的拉格朗日量是 \(L(t, \theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2}ml^2 \dot{\theta}^2 + mgl \cos \theta\). L 的形式参数是 t, \(\theta\) 和 \(\dot{\theta}\); \(\theta\) 测量摆杆与铅垂线的夹角, \(\dot{\theta}\) 是杆的角速度.⁵⁶ c. 一个质量为 m 的粒子约束在半径为 R 的球面上运动的拉格朗日量是 \(L(t; \theta, \phi; \alpha, \beta) = \frac{1}{2}mR^2(\alpha^2 + (\beta \sin \theta)^2)\). 角度 \(\theta\) 是粒子的余纬度, \(\phi\) 是经度; 余纬度的变化率是 \(\alpha\), 经度的变化率是 \(\beta\).

推导依赖于加速度的拉格朗日量的拉格朗日方程. 特别地, 证明对于形式为 \(L(t, q, \dot{q}, \ddot{q})\) 且包含 \(\ddot{q}\) 项的拉格朗日量, 其拉格朗日方程为:⁵⁷ \[ D^2(\partial_3 L \circ \Gamma[q]) - D(\partial_2 L \circ \Gamma[q]) + \partial_1 L \circ \Gamma[q] = 0. \quad (1.49) \] 通常, 这些首先由泊松推导的方程将涉及 q 的四阶导数. 注意, 推导过程与没有加速度的拉格朗日方程的推导完全类似; 只是更长一些. 我们必须对变分施加什么限制, 以使临界路径满足一个微分方程?

计算拉格朗日方程的过程反映了函数表达式 (1.18), 其中过程 Gamma 实现了 \(\Gamma\):⁵⁸

(define ((Lagrange-equations Lagrangian) q)
  (- (D (compose ((partial 2) Lagrangian) (Gamma q)))
     (compose ((partial 1) Lagrangian) (Gamma q))))

Lagrange-equations 的参数是计算拉格朗日量的过程. 它返回一个过程, 当应用于路径 q 时, 该过程返回一个单参数 (时间) 的过程, 该过程计算拉格朗日方程 (1.18) 的左侧. 如果 q 是拉格朗日作用量平稳的路径, 这些残差值为零. 注意 Lagrange-equations 过程, 就像拉格朗日方程本身一样, 对任何广义坐标系都有效. 当我们编写程序来研究特定系统时, 实现拉格朗日函数和路径 q 的过程将反映为表示系统所选择的实际坐标, 但我们在每种情况下都使用相同的 Lagrange-equations 过程. 这种抽象反映了一个重要的事实,

使用 Lagrange-equations 过程计算练习 1.9 中拉格朗日量的拉格朗日方程. 另外, 使用计算机执行 Lagrange-equations 过程中的每个步骤并显示中间结果. 将这些步骤与你在练习 1.9 的手动推导中显示的步骤联系起来.

a. 编写一个过程来计算依赖于加速度的拉格朗日量的拉格朗日方程, 如练习 1.10 中所示. b. 使用你的过程计算拉格朗日量 \(L(t, x, v, a) = -\frac{1}{2} m x a - \frac{1}{2} k x^2\) 的拉格朗日方程. 你认出由此产生的运动方程吗? c. 为了更有趣, 编写一个通用的拉格朗日方程过程, 它接受任意阶的拉格朗日量和阶数, 以产生所需的运动方程.

给定一个点粒子系统, 其力可以确定为与速度无关的势能 V 的 (负) 导数, 我们已经证明系统沿着满足拉格朗日方程且 \(L = T - V\) 的路径演化. 确定了这类系统的拉格朗日量后, 我们可以用能量来重述作用量平稳原理. 这个表述被称为哈密顿原理 (Hamilton's Principle): 一个点粒子系统, 其力由与速度无关的势能导出, 沿着路径 q 演化, 使得作用量 \[ S[q](t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} L \circ \Gamma[q] \] 相对于保持端点固定的路径 q 的变分是平稳的, 其中 \(L = T - V\) 是动能和势能之差.⁶³

考虑一个质量为 m 的粒子在加速度为 g 的均匀引力场中运动. 势能是 mgh, 其中 h 是粒子的高度. 动能就是 \(\frac{1}{2}mv^2\). 系统的拉格朗日量是动能和势能之差. 在直角坐标系中, y 测量垂直位置, x 测量水平位置, 拉格朗日量是 \(L(t; x, y; v_x, v_y) = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) - mgy\). 我们有

(define ((L-uniform-acceleration m g) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (v (velocity local)))
    (let ((y (ref q 1)))
      (- (* 1/2 m (square v)) (* m g y)))))

(show-expression
 (((Lagrange-equations
    (L-uniform-acceleration 'm 'g))
   (up (literal-function 'x)
       (literal-function 'y)))
  't))

\[ \begin{pmatrix} m D^2x(t) \\ gm + m D^2y(t) \end{pmatrix} \] 这个方程描述了水平方向的无加速运动 (\(mD^2x(t)=0\)) 和垂直方向的匀加速运动 (\(mD^2y(t)=-gm\)).

考虑一个质量为 m 的粒子在中心力场中的平面运动, 其任意势能 U(r) 仅取决于到引力中心的距离 r. 我们将用直角坐标和极坐标两种方式推导该系统的拉格朗日方程. 在直角坐标系 (x, y) 中, 原点在引力中心, 势能为 \(V(t; x, y) = U(\sqrt{x^2+y^2})\). 动能为 \(T(t; x, y; v_x, v_y) = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2)\). 系统的拉格朗日量是 \(L = T - V\): \[ L(t; x, y; v_x, v_y) = \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2) - U(\sqrt{x^2 + y^2}). \quad (1.59) \] 作为一个过程:

(define ((L-central-rectangular m U) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (v (velocity local)))
    (- (* 1/2 m (square v))
       (U (sqrt (square q))))))

拉格朗日方程是

(show-expression
 (((Lagrange-equations
    (L-central-rectangular 'm (literal-function 'U)))
   (up (literal-function 'x)
       (literal-function 'y)))
  't))

\[ \begin{bmatrix} m D^2x(t) + \frac{DU\left(\sqrt{(y(t))^2 + (x(t))^2}\right) x(t)}{\sqrt{(y(t))^2 + (x(t))^2}} \\ m D^2y(t) + \frac{DU\left(\sqrt{(x(t))^2 + (y(t))^2}\right) y(t)}{\sqrt{(x(t))^2 + (y(t))^2}} \end{bmatrix} \] 我们可以重写这些拉格朗日方程为: \[ m D^2x(t) = -\frac{x(t)}{r(t)} DU(r(t)) \quad (1.60) \] \[ m D^2y(t) = -\frac{y(t)}{r(t)} DU(r(t)), \quad (1.61) \] 其中 \(r(t) = \sqrt{(x(t))^2 + (y(t))^2}\). 我们可以这样解释它们. 粒子受到一个径向指向的力, 大小为 \(-DU(r)\). 牛顿方程将力与质量和加速度的乘积相等同. 这两个拉格朗日方程正是牛顿方程的直角坐标分量. 我们可以用极坐标描述同一个系统. 直角坐标 (x, y) 和极坐标 (r, \(\phi\)) 之间的关系是: \[ x = r \cos \phi \] \[ y = r \sin \phi. \quad (1.62) \] 广义速度的关系由坐标变换推导得出. 考虑一个位形路径, 它在直角坐标和极坐标中都有表示. 令 \(\bar{x}\) 和 \(\bar{y}\) 为直角坐标路径的分量, 令 \(\bar{r}\) 和 \(\bar{\phi}\) 为相应极坐标路径的分量. 时间 t 的直角坐标分量是 \((\bar{x}(t), \bar{y}(t))\), 时间 t 的极坐标是 \((\bar{r}(t), \bar{\phi}(t))\). 它们通过 (1.62) 相关联: \[ \bar{x}(t) = \bar{r}(t) \cos \bar{\phi}(t) \] \[ \bar{y}(t) = \bar{r}(t) \sin \bar{\phi}(t). \quad (1.63) \] 时间 t 的直角速度是 \((D\bar{x}(t), D\bar{y}(t))\). 微分 (1.63) 得到速度之间的关系 \[ D\bar{x}(t) = D\bar{r}(t) \cos \bar{\phi}(t) - \bar{r}(t) D\bar{\phi}(t) \sin \bar{\phi}(t) \] \[ D\bar{y}(t) = D\bar{r}(t) \sin \bar{\phi}(t) + \bar{r}(t) D\bar{\phi}(t) \cos \bar{\phi}(t). \quad (1.64) \] 这些关系在任何时刻对任何位形路径都有效, 因此我们可以将它们抽象为任意速度的坐标表示之间的关系. 令 \(v_x\) 和 \(v_y\) 为速度的直角坐标分量; 令 \(\dot{r}\) 和 \(\dot{\phi}\) 为 r 和 \(\phi\) 的变化率. 那么 \[ v_x = \dot{r} \cos \phi - r \dot{\phi} \sin \phi \] \[ v_y = \dot{r} \sin \phi + r \dot{\phi} \cos \phi. \quad (1.65) \] 动能是 \(\frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2)\): \[ T(t; r, \phi; \dot{r}, \dot{\phi}) = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2), \quad (1.66) \] 拉格朗日量是 \[ L(t; r, \phi; \dot{r}, \dot{\phi}) = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2) - U(r). \quad (1.67) \] 我们将这个拉格朗日量表达如下:

(define ((L-central-polar m U) local)
  (let ((q (coordinate local))
        (qdot (velocity local)))
    (let ((r (ref q 0)) (phi (ref q 1))
          (rdot (ref qdot 0)) (phidot (ref qdot 1)))
      (- (* 1/2 m
            (+ (square rdot)
               (square (* r phidot))))
         (U r)))))

拉格朗日方程是:

(show-expression
 (((Lagrange-equations
    (L-central-polar 'm (literal-function 'U)))
   (up (literal-function 'r)
       (literal-function 'phi)))
  't))

\[ \begin{pmatrix} m D^2r(t) - m r(t) (D\phi(t))^2 + DU(r(t)) \\ 2m Dr(t) r(t) D\phi(t) + m D^2\phi(t) (r(t))^2 \end{pmatrix} \] 我们可以将第一个方程解释为质量与径向加速度的乘积等于势能力和离心力之和. 第二个方程可以解释为角动量 \(mr^2 D\phi\) 的导数为零; 因此角动量守恒.⁶⁴ 注意, 我们在两种坐标系中都使用了相同的 Lagrange-equations 过程来推导. 拉格朗日量的坐标表示对于不同的坐标系是不同的, 并且拉格朗日方程在不同的坐标系中看起来也不同. 然而, 在任何坐标系中都使用相同的方法来推导拉格朗日方程.

检查中心力运动在极坐标中的拉格朗日方程和在直角坐标中的拉格朗日方程是等价的. 通过将路径代入变换方程并计算导数来确定二阶导数之间的关系, 然后将这些关系代入运动方程.

通过直接计算证明, 如果 L 的拉格朗日方程得到满足, 则 \(L'\) 的拉格朗日方程也得到满足.

给定一个坐标变换 F, 我们可以使用方程 (1.74) 找到变换局部元组的函数 C. 过程 F->C 实现了这一点⁶⁵

(define ((F->C F) local)
  (->local (time local)
           (F local)
           (+ (((partial 0) F) local)
              (* (((partial 1) F) local)
                 (velocity local)))))

作为一个例子, 考虑从极坐标到直角坐标的变换: \(x = r \cos \phi\) 和 \(y = r \sin \phi\), 其实现如下:

(define (p->r local)
  (let ((polar-tuple (coordinate local)))
    (let ((r (ref polar-tuple 0))
          (phi (ref polar-tuple 1)))
      (let ((x (* r (cos phi)))
            (y (* r (sin phi))))
        (up x y)))))

就极坐标和极坐标变化率而言, 直角坐标分量的变化率是:

(show-expression
 (velocity
  ((F->C p->r)
   (->local 't (up 'r 'phi) (up 'rdot 'phidot)))))

\[ \begin{pmatrix} -\dot{\phi} r \sin(\phi) + \dot{r} \cos(\phi) \\ \dot{\phi} r \cos(\phi) + \dot{r} \sin(\phi) \end{pmatrix} \] 我们可以使用 F->C, 利用方程 (1.70), 从直角坐标中的拉格朗日量找到中心力运动在极坐标中的拉格朗日量,

(define (L-central-polar m U)
  (compose (L-central-rectangular m U) (F->C p->r)))
(show-expression
 ((L-central-polar 'm (literal-function 'U))
  (->local 't (up 'r 'phi) (up 'rdot 'phidot))))

\[ \frac{1}{2} m \dot{\phi}^2 r^2 + \frac{1}{2} m \dot{r}^2 - U(r) \] 结果与拉格朗日量 (1.67) 相同.

在直角坐标和球坐标中找到三维中心力运动的拉格朗日量. 首先, 解析地找到拉格朗日量, 然后通过推广我们给出的程序来用计算机检查结果.

假设系统由 N 个质点组成, 由 \(\alpha\) 索引, 在普通三维空间中. 第一步是选择一组方便的冗余广义坐标 q 并用它们重新描述系统. 就广义坐标而言, 粒子 \(\alpha\) 的直角坐标是: \[ x_\alpha = f_\alpha(t, q). \quad (1.76) \] 对于冗余坐标 q, 所有坐标约束都内置在函数 \(f_\alpha\) 中. 我们通过将路径函数代入方程 (1.76), 微分, 并抽象为任意速度来推导广义速度 v 与组成粒子速度 \(v_\alpha\) 的关系.⁶⁶ 我们发现 \[ v_\alpha = \partial_0 f_\alpha(t, q) + \partial_1 f_\alpha(t, q) v. \quad (1.77) \] 我们使用方程 (1.76) 和 (1.77) 来表示动能关于广义坐标和速度. 令 T 为动能作为直角坐标和速度的函数: \[ T(t; x_0, \dots, x_{N-1}; v_0, \dots, v_{N-1}) = \sum_\alpha \frac{1}{2} m_\alpha v_\alpha^2, \quad (1.78) \] 其中 \(v_\alpha^2\) 是 \(v_\alpha\) 的平方大小. 作为广义坐标元组 q 和广义速度元组 v 的函数, 动能是 \[ T(t, q, v) = T(t, f(t, q), \partial_0 f(t, q) + \partial_1 f(t, q) v) \] \[ = \sum_\alpha \frac{1}{2} m_\alpha (\partial_0 f_\alpha(t, q) + \partial_1 f_\alpha(t, q) v)^2. \quad (1.79) \] 类似地, 我们使用方程 (1.76) 来重新表示势能关于广义坐标. 令 \(V(t, x)\) 为时间 t 时由直角坐标元组 x 指定的位形下的势能. 用广义坐标表示的势能是 \[ \mathcal{V}(t, q, v) = V(t, f(t, q)). \quad (1.80) \] 我们取拉格朗日量为动能和势能之差: \(L = T - \mathcal{V}\).

考虑一个摆锤 (见图 1.2), 长度为 l, 质量为 m, 建模为质点, 由一个枢轴支撑, 该枢轴在垂直方向上由给定的时间函数 \(y_s\) 驱动.

该系统的位形空间维度为一; 我们选择图 1.2 中所示的 \(\theta\) 作为广义坐标. 摆锤的位置由直角坐标给出 \[ x = l \sin \theta \quad \text{和} \quad y = y_s(t) - l \cos \theta. \quad (1.81) \] 速度是 \[ v_x = l \dot{\theta} \cos \theta \quad \text{和} \quad v_y = D y_s(t) + l \dot{\theta} \sin \theta, \quad (1.82) \] 通过沿路径微分并抽象为瞬时速度得到. 动能是 \(T(t; x, y; v_x, v_y) = \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2)\). 用广义坐标表示的动能是 \[ T(t, \theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} m \left( l^2 \dot{\theta}^2 + (D y_s(t))^2 + 2 l D y_s(t) \dot{\theta} \sin \theta \right). \quad (1.83) \] 势能是 \(\mathcal{V}(t; x, y) = mgy\). 用广义坐标表示的势能是 \[ \mathcal{V}(t, \theta, \dot{\theta}) = gm (y_s(t) - l \cos \theta). \quad (1.84) \] 拉格朗日量是 \(L = T - \mathcal{V}\). 拉格朗日量表示为

(define ((T-pend m l g ys) local)
  (let ((t (time local))
        (theta (coordinate local))
        (thetadot (velocity local)))
    (let ((vys (D ys)))
      (* 1/2 m
         (+ (square (* l thetadot))
            (square (vys t))
            (* 2 l (vys t) thetadot (sin theta)))))))
(define ((V-pend m l g ys) local)
  (let ((t (time local))
        (theta (coordinate local)))
    (* m g (- (ys t) (* l (cos theta))))))
(define L-pend (- T-pend V-pend))

该系统的拉格朗日方程是⁶⁷

(show-expression
 (((Lagrange-equations
    (L-pend 'm 'l 'g (literal-function 'y_s)))
   (literal-function 'theta))
  't))

\[ D^2\theta(t) l^2 m + D^2y_s(t) \sin(\theta(t)) lm + \sin(\theta(t)) glm \]

推导练习 1.9 中的拉格朗日量的拉格朗日方程.

一个质量为 m 的珠子被约束在一根无摩擦的螺旋线上运动. 螺旋线的轴线是水平的. 螺旋线的直径是 d, 螺距 (每单位长度的圈数) 是 h. 系统处于均匀引力场中, 垂直加速度为 g. 建立描述该系统的拉格朗日量, 并找到拉格朗日运动方程.

一个质量为 m 的珠子无摩擦地在三轴椭球面上运动. 在直角坐标系中, 该曲面满足 \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1, \quad (1.85) \] 对于某些常数 a, b 和 c. 确定合适的广义坐标, 建立拉格朗日量, 并找到拉格朗日方程.

图 1.3 中所示的双杆联动装置被约束在平面内运动. 它由三个小的有质量物体组成, 由两个无质量的刚性杆连接, 在均匀的垂直加速度为 g 的引力场中. 杆通过一个允许联动装置折叠的铰链连接到中心物体上. 系统的布置使得铰链完全自由: 构件可以经历所有构型而不会发生碰撞. 建立描述该系统的拉格朗日量并找到拉格朗日运动方程. 使用计算机来完成这个任务, 因为方程相当庞大.

考虑一个长度为 l 的摆锤连接到一个可以自由水平移动的支撑物上, 如图 1.4 所示. 设支撑物的质量为 m1, 摆锤的质量为 m2. 建立拉格朗日量并推导该系统的拉格朗日方程.

在本节中, 我们证明 \(L = T - V\) 确实是适用于刚性约束系统的合适拉格朗日量. 我们通过要求拉格朗日方程等价于带有矢量约束力的牛顿矢量动力学来实现.⁶⁸ 我们考虑一个粒子系统. 索引为 \(\alpha\) 的粒子在时间 t 的质量为 \(m_\alpha\), 位置为 \(x_\alpha(t)\). 这个粒子系统可能非常大, 也可能只有少数几个粒子. 某些位置也可能是时间的指定函数, 例如驱动摆锤的枢轴位置. 粒子之间存在刚性位置约束; 我们假设所有这些约束的形式为 \[ (x_\alpha(t) - x_\beta(t)) \cdot (x_\alpha(t) - x_\beta(t)) = l_{\alpha\beta}^2, \quad (1.86) \] 也就是说, 粒子 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 之间的距离是 \(l_{\alpha\beta}\). 粒子 \(\alpha\) 的牛顿运动方程表明, 质量乘以粒子 \(\alpha\) 的加速度等于势能力和约束力之和. 势能力由势能的负梯度导出, 并且可能取决于其他粒子的位置和时间. 约束力 \(F_{\alpha\beta}\) 是与粒子 \(\alpha\) 和粒子 \(\beta\) 之间的刚性约束相关的矢量约束力. 所以 \[ D(m_\alpha D x_\alpha)(t) = -\nabla_{x_\alpha} V(t, x_0(t), \dots, x_{N-1}(t)) + \sum_{\{\beta | \beta \leftrightarrow \alpha\}} F_{\alpha\beta}(t), \quad (1.87) \] 其中求和 \(\beta\) 仅遍历那些与索引为 \(\alpha\) 的粒子存在刚性约束的粒子索引; 我们使用记号 \(\beta \leftrightarrow \alpha\) 表示指定粒子之间存在刚性约束的关系. 约束力沿着粒子之间的连线方向, 所以我们可以写 \[ F_{\alpha\beta}(t) = \mathcal{F}_{\alpha\beta}(t) \frac{x_\beta(t) - x_\alpha(t)}{l_{\alpha\beta}} \quad (1.88) \] 其中 \(\mathcal{F}_{\alpha\beta}(t)\) 是时间 t 时约束中的标量张力大小. 注意 \(\mathcal{F}_{\alpha\beta} = -\mathcal{F}_{\beta\alpha}\). 通常, 标量约束力随系统演化而变化. 形式上, 我们可以用拉格朗日量重现牛顿方程⁶⁹ \[ L(t; x, \mathcal{F}; \dot{x}, \dot{\mathcal{F}}) = \sum_\alpha \frac{1}{2} m_\alpha \dot{x}_\alpha^2 - V(t, x) \] \[ - \sum_{\{\alpha, \beta | \alpha < \beta, \alpha \leftrightarrow \beta\}} \frac{\mathcal{F}_{\alpha\beta}}{2l_{\alpha\beta}} \left[ (x_\beta - x_\alpha)^2 - l_{\alpha\beta}^2 \right] \quad (1.89) \] 其中约束力被视为额外的广义坐标. 这里 x 是由所有 \(x_\alpha\) 的所有直角坐标分量组成的结构, \(\dot{x}\) 是由所有速度矢量 \(v_\alpha\) 的所有直角坐标分量 \(\dot{x}_\alpha\) 组成的结构, \(\mathcal{F}\) 是由所有 \(\mathcal{F}_{\alpha\beta}\) 组成的结构. \(\mathcal{F}\) 的速度不出现在拉格朗日量中, \(\mathcal{F}\) 本身只线性出现. 所以与 \(\mathcal{F}\) 相关的拉格朗日方程是 \[ (x_\beta(t) - x_\alpha(t))^2 - l_{\alpha\beta}^2 = 0 \quad (1.90) \] 但这只是约束的重述. 粒子坐标的拉格朗日方程是牛顿方程 (1.87) \[ D(m D x_\alpha)(t) = -\partial_{1,\alpha} V(t, x(t)) + \sum_{\{\beta | \alpha \leftrightarrow \beta\}} \mathcal{F}_{\alpha\beta}(t) \frac{x_\beta(t) - x_\alpha(t)}{l_{\alpha\beta}}. \quad (1.91) \]

考虑形式为 \[ \phi(t, x(t)) = 0, \quad (1.98) \] 的约束, 其中 x(t) 是时间 t 时所有直角坐标分量 \(x_\alpha(t)\) 的结构. 在 1.10 节中, 我们将使用变分原理证明, 该系统的合适拉格朗日量是 \[ L(t; x, \lambda; \dot{x}, \dot{\lambda}) = \sum_\alpha \frac{1}{2} m_\alpha \dot{x}_\alpha^2 - V(t, x) + \lambda \phi(t, x), \quad (1.99) \] 其中 \(\lambda\) 是一个额外的坐标, \(\dot{\lambda}\) 是相应的广义速度. 与 \(\lambda\) 相关的拉格朗日方程只是约束的重述: \(\phi(t, x(t)) = 0\). 粒子坐标的拉格朗日方程是: \[ D(m_\alpha D x_\alpha)(t) = -\partial_{1,\alpha} V(t, x(t)) + \lambda(t) \partial_{1,\alpha} \phi(t, x(t)). \quad (1.100) \] 这种约束也可以通过在牛顿方程中包含适当的约束力来建模: \[ D(m_\alpha D x_\alpha)(t) = -\nabla_{x_\alpha} V(t; x_0(t) \dots x_{N-1}(t)) + \sum_\alpha \mathcal{F}_\alpha(t). \quad (1.101) \] 为了使方程 (1.100) 与方程 (1.101) 相同, 我们必须将 \(\lambda(t) \partial_{1,\alpha} \phi(t, x(t))\) 等同于粒子 \(\alpha\) 上的约束力. 注意这些约束力与约束表面在每个时刻的法线成正比, 因此对于遵守约束的运动不做功. 拉格朗日量 (1.89), 我们上面为包含位置约束的牛顿约束力而开发的, 正是这种形式. 我们可以确定 \[ \lambda(t) \phi(t, x(t)) = \sum_{\{\alpha, \beta | \alpha < \beta, \alpha \leftrightarrow \beta\}} \frac{\mathcal{F}_{\alpha\beta}(t)}{2l_{\alpha\beta}} \left[ (x_\beta(t) - x_\alpha(t))^2 - l_{\alpha\beta}^2 \right]. \quad (1.102) \] 约束力满足 \[ \lambda(t) \partial_{1,\alpha} \phi(t, x(t)) = \sum_{\{\beta | \alpha \leftrightarrow \beta\}} \mathcal{F}_{\alpha\beta}(t) \frac{x_\beta(t) - x_\alpha(t)}{l_{\alpha\beta}}. \quad (1.103) \] 接受拉格朗日量 (1.99) 描述形式为 (1.98) 的约束系统, 我们可以如上所述进行从冗余坐标 x 到冗余广义坐标 q 和约束坐标 \(c = \phi(t, x)\) 的坐标变换. 坐标 \(\lambda\) 不会出现在 q 的拉格朗日方程中, 因为在解路径上它们将乘以一个恒等于零的因子. 如果我们只对广义坐标的演化感兴趣, 我们可以假设约束被恒等满足, 并取拉格朗日量为用广义坐标表示的动能和势能之差.

在这个练习中, 我们将为一个特定的简单系统重述约束系统的拉格朗日量的推导. 考虑由无质量刚性杆约束在平面内保持距离 l 分开的两个有质量粒子, 如图 1.5 所示. 对于平面内的两个有质量粒子, 显然有四个自由度, 但刚性杆将这个数字减少到三个.

我们可以用粒子的冗余坐标唯一地指定位形, 比如 \(x_0(t)\), \(y_0(t)\) 和 \(x_1(t)\), \(y_1(t)\). 约束 \((x_1(t) - x_0(t))^2 + (y_1(t) - y_0(t))^2 = l^2\) 消除了一个自由度. a. 写出两个粒子的四个直角坐标的力平衡的牛顿方程, 给定杆中的标量张力为 \(\mathcal{F}\). b. 写出形式拉格朗日量 \[ L(t; x_0, y_0, x_1, y_1, \mathcal{F}; \dot{x}_0, \dot{y}_0, \dot{x}_1, \dot{y}_1, \dot{\mathcal{F}}) \] 使得拉格朗日方程将产生你在 a 部分推导出的牛顿方程. c. 进行坐标变换, 变换到具有质心坐标 \(x_{cm}\), \(y_{cm}\), 角度 \(\theta\), 粒子间距离 c 和张力 \(\mathcal{F}\) 的坐标系. 用这些坐标写出拉格朗日量, 并写出拉格朗日方程. d. 你可以从这些方程中的一个推断出 \(c(t) = l\). 根据这个事实, 我们得到 \(Dc=0\) 和 \(D^2c=0\). 将这些代入你刚计算出的拉格朗日方程, 得到 \(x_{cm}\), \(y_{cm}\), \(\theta\) 的运动方程. e. 为系统建立一个用冗余广义坐标 \(x_{cm}\), \(y_{cm}\), \(\theta\) 描述的拉格朗日量 (\(= T - V\)), 并从此拉格朗日量计算拉格朗日方程. 它们应该与你从 d 部分推导出的相同坐标的方程相同.

证明拉格朗日量 (1.89) 可用于描述驱动摆锤, 其中枢轴的位置是时间的指定函数: 使用牛顿约束力规定推导运动方程, 并证明它们与拉格朗日方程相同. 确保检查约束力的方程以及摆锤位置的方程.

证明拉格朗日量 (1.97) 的拉格朗日方程与拉格朗日量 (1.95) 在代入 \(c(t) = l\), \(Dc(t) = D^2c(t) = 0\) 后的拉格朗日方程相同.

求未驱动平面摆中的张力.

让我们首先解释我们所说的“全时间导数”是什么意思. 令 F 为时间和坐标的函数. 那么 F 沿路径 q 的时间导数是 \[ D(F \circ \Gamma[q]) = (DF \circ \Gamma[q]) D\Gamma[q]. \quad (1.108) \] 因为 F 仅依赖于时间和坐标: \[ DF \circ \Gamma[q] = [\partial_0 F \circ \Gamma[q], \partial_1 F \circ \Gamma[q]]. \quad (1.109) \] 所以我们只需要 \(D\Gamma[q]\) 的前两个分量, \[ (D\Gamma[q])(t) = (1, Dq(t), D^2q(t), \dots), \quad (1.110) \] 来形成乘积 \[ D(F \circ \Gamma[q]) = \partial_0 F \circ \Gamma[q] + (\partial_1 F \circ \Gamma[q]) Dq \] \[ = (\partial_0 F + (\partial_1 F) \dot{Q}) \circ \Gamma[q], \quad (1.111) \] 其中 \(\dot{Q} = I_2\) 是一个选择器函数:⁷² \(c = \dot{Q}(a, b, c)\), 所以 \(Dq = \dot{Q} \circ \Gamma[q]\). 函数 \[ D_t F = \partial_0 F + (\partial_1 F) \dot{Q} \quad (1.112) \] 称为 F 的全时间导数; 它是三个参数的函数: 时间, 广义坐标和广义速度. 通常, 局部元组函数 F 的全时间导数是那个函数 \(D_t F\), 当它与局部元组路径复合时, 是函数 F 与相同局部元组路径复合的时间导数: \[ D_t F \circ \Gamma[q] = D(F \circ \Gamma[q]). \quad (1.113) \] 全时间导数 \(D_t F\) 显式给出为 \[ D_t F(t, q, v, a, \dots) = \partial_0 F(t, q, v, a, \dots) \] \[ + \partial_1 F(t, q, v, a, \dots) v \] \[ + \partial_2 F(t, q, v, a, \dots) a + \dots, \quad (1.114) \] 其中我们根据需要取尽可能多的项来穷尽 F 的参数.

全时间导数 \(D_t F\) 不是函数 F 的导数. 然而, 全时间导数与导数共享许多性质. 证明 \(D_t\) 对于局部元组函数 F 和 G, 数 c, 以及定义域包含 G 值域的函数 H 具有以下性质. a. \(D_t(F + G) = D_t F + D_t G\) b. \(D_t(c F) = c D_t F\) c. \(D_t(F G) = F D_t G + (D_t F) G\) d. \(D_t(H \circ G) = (DH \circ G) D_t G\).

考虑两个拉格朗日量 L 和 \(L'\), 它们相差一个仅依赖于时间和坐标的函数 F 的全时间导数的加法 \[ L' = L + D_t F. \quad (1.115) \] 相应的动作积分是 \[ S'[q](t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} L' \circ \Gamma[q] \] \[ = \int_{t_1}^{t_2} (L + D_t F) \circ \Gamma[q] \] \[ = \int_{t_1}^{t_2} L \circ \Gamma[q] + \int_{t_1}^{t_2} D(F \circ \Gamma[q]) \] \[ = S[q](t_1, t_2) + (F \circ \Gamma[q]) \Big|_{t_1}^{t_2}. \quad (1.116) \] 变分原理指出, 沿可实现轨迹的作用量积分相对于保持轨迹端点处位形固定的变分是平稳的. 作用量积分 \(S[q](t_1, t_2)\) 和 \(S'[q](t_1, t_2)\) 相差一项 \[ (F \circ \Gamma[q]) \Big|_{t_1}^{t_2} = F(t_2, q(t_2)) - F(t_1, q(t_1)) \quad (1.117) \] 它仅依赖于端点处的坐标和时间, 而这些不允许变化. 因此, 如果 \(S[q](t_1, t_2)\) 对一条路径是平稳的, 那么 \(S'[q](t_1, t_2)\) 也将是平稳的. 因此, 任何一个拉格朗日量都可以用来区分可实现的路径. 向拉格朗日量添加全时间导数不会影响作用量对于给定路径是否临界. 因此, 如果我们有两个相差一个全时间导数的拉格朗日量, 相应的拉格朗日方程是等价的, 因为相同的路径满足每一个方程. 此外, 全时间导数引入到作用量中的附加项仅出现在端点条件中, 因此不影响从作用量变分推导出的拉格朗日方程, 所以拉格朗日方程是相同的. 因此, 向拉格朗日量添加全时间导数不会改变拉格朗日方程.

令 \(F(t, q)\) 仅为 t 和 q 的函数, 其全时间导数为 \[ D_t F = \partial_0 F + \partial_q F \dot{Q}. \quad (1.118) \] 明确证明 \(D_t F\) 的拉格朗日方程恒等于零, 因此向拉格朗日量添加 \(D_t F\) 不会影响拉格朗日方程.

驱动摆锤提供了一个向拉格朗日量添加全时间导数的好例子. 驱动摆锤的运动方程 (见 1.6.2 节), \[ m l^2 D^2\theta(t) + m l (g + D^2 y_s(t)) \sin\theta(t) = 0, \quad (1.119) \] 有一个有趣且暗示性的解释: 它与未驱动摆锤的运动方程相同, 只是重力加速度 g 被枢轴的加速度 \(D^2 y_s\) 增强了. 这个直观的解释在作为动能和势能之差推导出的拉格朗日量 (见 1.6.2 节) 中并不明显. 然而, 我们可以写出另一个具有相同运动方程的备选拉格朗日量, 它与运动方程一样易于解释: \[ L'(t, \theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m l (g + D^2 y_s(t)) \cos\theta. \quad (1.120) \] 有了这个拉格朗日量, 很明显加速枢轴的作用是修改重力加速度. 然而, 注意到它不是动能和势能之差. 让我们比较驱动摆锤的两个拉格朗日量. 差值 \(\Delta L = L - L'\) 是 \[ \Delta L(t, \theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} m (D y_s(t))^2 + m l D y_s(t) \dot{\theta} \sin\theta \] \[ - g m y_s(t) - m l D^2 y_s(t) \cos\theta. \quad (1.121) \] \(\Delta L\) 中不依赖于 \(\theta\) 或 \(\dot{\theta}\) 的两项不影响运动方程. 其余两项是函数 \(F(t, \theta) = -ml D y_s(t) \cos\theta\) 的全时间导数, 它不依赖于 \(\dot{\theta}\). 向拉格朗日量添加此类项不影响运动方程.

如果局部元组函数 G, 参数为 \((t, q, v)\), 是某个函数 F, 参数为 \((t, q)\), 的全时间导数, 那么 G 必须具有某些性质. 从方程 (1.112), 我们看到 G 必须在广义速度中是线性的 \[ G(t, q, v) = G_1(t, q, v) v + G_2(t, q, v) \quad (1.122) \] 其中 G1 和 G2 都不依赖于广义速度: \(\partial_2 G_1 = \partial_2 G_2 = 0\). 如果 G 是 F 的全时间导数, 那么 \(G_1 = \partial_1 F\) 且 \(G_2 = \partial_0 F\), 所以 \[ \partial_0 G_1 = \partial_0 \partial_1 F \] \[ \partial_1 G_2 = \partial_1 \partial_0 F. \quad (1.123) \] 相对于时间参数的偏导数没有结构, 所以 \(\partial_0 \partial_1 F = \partial_1 \partial_0 F\). 因此如果 G 是 F 的全时间导数, 则 \[ \partial_0 G_1 = \partial_1 G_0. \quad (1.124) \] 此外, \(G_1 = \partial_1 F\), 所以 \[ \partial_1 G_1 = \partial_1 \partial_1 F. \quad (1.125) \] 如果自由度大于一, 这些偏导数实际上是偏导数的结构, 相对于每个坐标. 相对于两个不同坐标的偏导数必须相同, 与微分顺序无关. 所以 \(\partial_1 G_1\) 必须是对称的.

对于以下每个函数, 要么证明它不是全时间导数, 要么产生一个可以从中推导出的函数. a. \(G(t, x, v_x) = m v_x\) b. \(G(t, x, v_x) = m v_x \cos t\) c. \(G(t, x, v_x) = v_x \cos t - x \sin t\) d. \(G(t, x, v_x) = v_x \cos t + x \sin t\) e. \(G(t; x, y; v_x, v_y) = 2(x v_x + y v_y) \cos t - (x^2 + y^2) \sin t\) f. \(G(t; x, y; v_x, v_y) = 2(x v_x + y v_y) \cos t - (x^2 + y^2) \sin t + y^3 v_x + x v_y\)

给出状态导数相对于状态的一阶常微分方程组可以被积分以找到从给定初始状态出发的状态路径. 数值积分器通过图 1.6 中所示的过程找到此类微分方程的近似解. 由 Lagrangian->state-derivative 产生的状态导数可以被一个数值积分系统的一阶常微分方程的包使用. 过程 state-advancer 可用于找到系统在指定时间的状态, 给定一个初始状态 (包括初始时间) 和一个参数化状态导数过程.⁷⁶

例如, 要推进二维谐振子的状态, 我们写⁷⁷

(print-expression
 ((state-advancer harmonic-state-derivative 2. 1.)
  (up 0. (up 1. 2.) (up 3. 4.))
  10
  1.e-12))

state-advancer 的参数是一个参数化的状态导数, harmonic-state-derivative, 和状态导数参数 (质量 2. 和弹簧常数 1.). 返回一个过程, 该过程接受一个初始状态, (up 0. (up 1. 2.) (up 3. 4.)), 一个目标时间, 10, 和一个相对误差容限, 1.e-12. 输出是指定最终时间的状态的近似值. 考虑上面描述的驱动摆锤, 具有周期性驱动. 我们选择 \(y_s(t) = a \cos \omega t\).

(define ((periodic-drive amplitude frequency phase) t)
  (* amplitude (cos (+ (* frequency t) phase))))
(define (L-periodically-driven-pendulum m l g a omega)
  (let ((ys (periodic-drive a omega 0)))
    (L-pend m l g ys)))

该系统的拉格朗日方程是:

(show-expression
 (((Lagrange-equations
    (L-periodically-driven-pendulum 'm 'l 'g 'a 'omega))
   (literal-function 'theta))
  't))

\[ D^2\theta(t) l^2 m - \cos(\omega t) \sin(\theta(t)) a l m \omega^2 + \sin(\theta(t)) g l m \] 驱动摆锤的参数化状态导数是

(define (pend-state-derivative m l g a omega)
  (Lagrangian->state-derivative
   (L-periodically-driven-pendulum m l g a omega)))
(show-expression
 ((pend-state-derivative 'm 'l 'g 'a 'omega)
  (up 't 'theta 'thetadot)))

\[ \begin{pmatrix} 1 \\ \dot{\theta} \\ \frac{a \omega^2 \cos(\omega t) \sin(\theta)}{l} - \frac{g \sin(\theta)}{l} \end{pmatrix} \] 为了检查驱动摆锤的演化, 我们需要一种机制来演化一个系统一段时间, 同时监控系统演化的某些方面. 过程 evolve 提供了这项服务, 使用 state-advancer 重复地将状态推进到所需的时刻. 过程 evolve 接受一个参数化的状态导数及其参数, 并返回一个过程, 该过程将系统从指定的初始状态演化到其他多个时间, 监控状态的某些方面. 为了生成角度随时间变化的图, 我们制作一个监控过程, 在演化进行时生成绘图:⁷⁸

(define ((monitor-theta win) state)
  (let ((theta ((principal-value :pi) (coordinate state))))
    (plot-point win (time state) theta)))
(define plot-win (frame 0. 100. :-pi :pi))
((evolve pend-state-derivative
         1.0                               ;m=1kg
         1.0                               ;l=1m
         9.8                               ;g=9.8m/s^2
         0.1                               ;a=1/10 m
         (* 2.0 (sqrt 9.8)))              ;omega
 (up 0.0                                   ;t0=0
     1.                                    ;theta0=1 radian
     0.)                                   ;thetadot0=0 radians/s
 (monitor-theta plot-win)
 0.01                                      ;step between plotted points
 100.0                                     ;final time
 1.0e-13)                                  ;local error tolerance

图 1.7 显示了驱动摆锤几个轨道的角度 \(\theta\) 随时间的变化. 两个运行的初始条件相同, 只是在一个运行中, 摆锤被赋予了一个微小的速度, 等于 \(10^{-10}\) m/s, 大约一个原子宽度的秒速. 初始段

如果一个拉格朗日量 \(L(t, q, v)\) 不依赖于某个特定坐标 \(q^i\), 那么 \[ (\partial_1 L)_i = 0, \quad (1.130) \] 相应的拉格朗日方程的第 i 个分量是 \[ (D(\partial_2 L \circ \Gamma[q]))_i = 0. \quad (1.131) \] 这与⁸⁰ \[ D((\partial_2 L)_i \circ \Gamma[q])) = 0. \quad (1.132) \] 相同. 所以我们看到 \[ P_i = (\partial_2 L)_i \quad (1.133) \] 是一个守恒量. 函数 P 称为动量状态函数 (momentum state function). 动量状态函数的值是广义动量 (generalized momentum). 我们将广义动量的第 i 个分量称为与第 i 个坐标共轭的动量 (momentum conjugate).⁸¹ 不显式出现在拉格朗日量中的广义坐标分量称为循环坐标 (cyclic coordinate). 与任何循环坐标共轭的广义动量分量是运动常数. 它的值沿可实现路径保持不变; 它在不同路径上可能有不同的值. 正如我们将看到的, 即使动量不守恒, 它也是一个重要的量. 给定坐标路径 q 和拉格朗日量 L, 动量路径 p 是 \[ p = \partial_2 L \circ \Gamma[q] = P \circ \Gamma[q], \quad (1.134) \] 分量为 \[ p_i = P_i \circ \Gamma[q]. \quad (1.135) \] 动量路径 p 对任何路径 q 都是明确定义的. 如果路径是可实现的, 并且拉格朗日量不依赖于 \(q^i\), 那么 \(p_i\) 是一个常数函数 \[ D p_i = 0. \quad (1.136) \] \(p_i\) 的常数值对于不同的轨迹可能不同.

如果拉格朗日量不依赖于相应的坐标, 则动量在运动中守恒. 如果拉格朗日量 \(L(t, q, \dot{q})\) 不显式依赖于时间: \(\partial_0 L = 0\), 则存在另一个运动常数, 即能量. 考虑拉格朗日量沿解路径 q 的时间导数: \[ D(L \circ \Gamma[q]) = \partial_0 L \circ \Gamma[q] + (\partial_1 L \circ \Gamma[q]) Dq + (\partial_2 L \circ \Gamma[q]) D^2 q. \quad (1.137) \] 使用拉格朗日方程重写第二项 \[ D(L \circ \Gamma[q]) = (\partial_0 L) \circ \Gamma[q] + D(\partial_2 L \circ \Gamma[q]) Dq + (\partial_2 L \circ \Gamma[q]) D^2 q. \quad (1.138) \] 分离 \(\partial_0 L\) 并组合右侧的前两项 \[ (\partial_0 L) \circ \Gamma[q] = D(L \circ \Gamma[q]) - D((\partial_2 L \circ \Gamma[q]) Dq) \] \[ = D(L \circ \Gamma[q]) - D((\partial_2 L \circ \Gamma[q]) (\dot{Q} \circ \Gamma[q])) \] \[ = D((L - P \dot{Q}) \circ \Gamma[q]), \quad (1.139) \] 其中, 如前所述, \(\dot{Q}\) 从状态中选择速度. 因此我们看到, 如果 \(\partial_0 L = 0\), 那么 \[ \mathcal{E} = P \dot{Q} - L, \quad (1.140) \] 沿可实现路径是守恒的. 函数 \(\mathcal{E}\) 称为能量状态函数 (energy state function).⁸³ 令 \(E = \mathcal{E} \circ \Gamma[q]\) 表示路径 q 上的能量函数. 如果拉格朗日量没有显式的时间依赖性, 能量函数沿任何可实现轨迹具有恒定值; 能量 E 对于不同的轨迹可能有不同的值. 没有显式时间依赖性的系统称为自治系统 (autonomous). 给定一个拉格朗日量 L, 我们可以计算能量:

(define (Lagrangian->energy L)
  (let ((P ((partial 2) L)))
    (- (* P velocity) L)))

当 \(f_\alpha\) 确实显式依赖于时间时, 类似的结果也成立. a. 证明在这种情况下, 动能在广义速度中包含线性项. b. 证明, 通过添加一个全时间导数, 拉格朗日量可以写成形式 \(L' = A - B\), 其中 A 是广义速度的齐次二次型, B 与速度无关. c. 证明, 使用欧拉定理, 能量函数是 \(\mathcal{E}' = A + B\). 一个例子是, 通过添加一个全时间导数, 从拉格朗日量中移除了速度线性项: 驱动摆锤.

一个质量为 m 的粒子在一个半径为 R 的水平圆柱体上滑下, 圆柱体处于加速度为 g 的均匀引力场中. 如果粒子从靠近顶部以零初始速度开始, 粒子离开圆柱体时的角速度是多少?

一个重要的物理系统是粒子在三维中心场中的运动, 其任意势能 V(r) 仅取决于半径. 我们将用球坐标 r, \(\theta\) 和 \(\phi\) 来描述这个系统, 其中 \(\theta\) 是余纬度, \(\phi\) 是经度. 动能有三项: \[ T(t; r, \theta, \phi; \dot{r}, \dot{\theta}, \dot{\phi}) = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 (\sin \theta)^2 \dot{\phi}^2). \] 作为一个过程:

(define ((T3-spherical m) state)
  (let ((t (time state))
        (q (coordinate state))
        (qdot (velocity state)))
    (let ((r (ref q 0))
          (theta (ref q 1))
          (phi (ref q 2))
          (rdot (ref qdot 0))
          (thetadot (ref qdot 1))
          (phidot (ref qdot 2)))
      (* 1/2 m
         (+ (square rdot)
            (square (* r thetadot))
            (square (* r (sin theta) phidot)))))))

然后通过减去势能来形成拉格朗日量:

(define (L3-central m Vr)
  (define (Vs state)
    (let ((r (ref (coordinate state) 0)))
      (Vr r)))
  (- (T3-spherical m) Vs))

让我们首先看一下广义力 (拉格朗日量相对于广义坐标的导数). 我们用相对于坐标参数的偏导数来计算它们:

(show-expression
 (((partial 1) (L3-central 'm (literal-function 'V)))
  (up 't
      (up 'r 'theta 'phi)
      (up 'rdot 'thetadot 'phidot))))

\[ \begin{bmatrix} m \dot{\phi}^2 r (\sin(\theta))^2 + m r \dot{\theta}^2 - DV(r) \\ m \dot{\phi}^2 r^2 \cos(\theta) \sin(\theta) \\ 0 \end{bmatrix} \] 力的 \(\phi\) 分量为零, 因为 \(\phi\) 没有出现在拉格朗日量中 (它是一个循环变量). 相应的动量分量守恒. 计算动量:

(show-expression
 (((partial 2) (L3-central 'm (literal-function 'V)))
  (up 't
      (up 'r 'theta 'phi)
      (up 'rdot 'thetadot 'phidot))))

\[ \begin{bmatrix} m \dot{r} \\ m r^2 \dot{\theta} \\ m r^2 \dot{\phi} (\sin(\theta))^2 \end{bmatrix} \] 与 \(\phi\) 共轭的动量守恒. 这是角动量 \(r \times (mv)\) 的 z 分量, 对于矢量位置 r 和线性动量 mv. 我们可以通过用球坐标写出角动量的 z 分量来证明这一点:

(define ((ang-mom-z m) state)
  (let ((q (coordinate state))
        (v (velocity state)))
    (ref (cross-product q (* m v)) 2)))
(define (s->r state)
  (let ((q (coordinate state)))
    (let ((r (ref q 0))
          (theta (ref q 1))
          (phi (ref q 2)))
      (let ((x (* r (sin theta) (cos phi)))
            (y (* r (sin theta) (sin phi)))
            (z (* r (cos theta))))
        (up x y z))))))
(show-expression
 ((compose (ang-mom-z 'm) (F->C s->r))
  (up 't
      (up 'r 'theta 'phi)
      (up 'rdot 'thetadot 'phidot))))

\[ m r^2 \dot{\phi} (\sin(\theta))^2 \] z 轴的选择是任意的, 因此任何角动量分量的守恒意味着所有分量的守恒. 因此总角动量守恒. 我们可以选择 z 轴, 使得所有角动量都在 z 分量中. 角动量必须垂直于半径矢量和线性动量矢量. 因此运动是平面的, \(\theta = \pi/2\), 且 \(\dot{\theta} = 0\). 中心力场中的平面运动已在 1.6 节中讨论过. 我们也可以看到, 从中心力场的拉格朗日量计算出的能量状态函数实际上是 \(T + V\):

(show-expression
 ((Lagrangian->energy (L3-central 'm (literal-function 'V)))
  (up 't
      (up 'r 'theta 'phi)
      (up 'rdot 'thetadot 'phidot))))

\[ \frac{1}{2} m \dot{\phi}^2 r^2 (\sin(\theta))^2 + \frac{1}{2} m r^2 \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + V(r) \] 能量是守恒的, 因为拉格朗日量没有显式的时间依赖性.

球面摆是一个有质量的摆锤, 受均匀重力作用, 可以在三维空间中摆动, 但与枢轴保持给定距离. 为球面摆建立一个拉格朗日量, 由枢轴的垂直运动驱动. 你能找到什么对称性? 找到表达对称性的坐标. 什么量是守恒的? 给出守恒量的解析表达式.

我们已经看到, 如果一个系统具有对称性, 并且可以选择一个坐标系, 使得拉格朗日量不依赖于与对称性相关的坐标, 那么就存在一个与该对称性相关的守恒量. 然而, 存在更一般的对称性, 对于这些对称性, 没有能够完全表达对称性的坐标系. 例如, 中心势中的运动是球对称的, 动力学系统在绕任何轴的旋转下都是不变的, 但是用球坐标表示的系统拉格朗日量只表现出绕一个轴的对称性. 更一般地说, 如果存在一个坐标变换使拉格朗日量保持不变, 那么拉格朗日量就具有对称性. 连续对称性 (continuous symmetry) 是一个参数化的对称性族. 这里我们证明对于任何连续对称性都存在一个守恒量. 考虑一个参数为 s 的参数化坐标变换 F:⁸⁵ \[ x = F(s)(t, x'). \quad (1.146) \] 对这个参数化坐标变换对应一个参数化状态变换 C: \[ (t, x, v) = C(s)(t, x', v'). \quad (1.147) \]

使用 Gamma-bar 过程构造一个给定坐标变换就变换速度的过程. 将此过程应用于 p->r 过程以推导出 (再次) 方程 (1.65).

局部元组函数 f 与局部元组函数 \(\bar{\Gamma}(\bar{f})\) 相同, 其中 \(\bar{f}[q] = f \circ \Gamma[q]\). 另一方面, 路径函数 \(\bar{f}[q]\) 和路径函数 \(\bar{\Gamma}(\bar{f}) \circ \Gamma[q]\) 不一定相同. 解释. 给出它们相同和不同的例子. 编写程序来说明这种行为.

给定一个拉格朗日量, 拉格朗日方程检验路径是否是系统的可实现路径. 拉格朗日方程关联路径及其导数. 拉格朗日方程必须在每个时刻都满足的事实表明, 我们可以将拉格朗日方程从路径中抽象出来, 并将它们写成可实现路径的局部元组分量之间的关系. 令 \(\bar{E}[L]\) 为产生拉格朗日量 L 的拉格朗日方程 (1.18) 残差的路径依赖函数: \[ \bar{E}[L][q] = D(\partial_2 L \circ \Gamma[q]) - \partial_1 L \circ \Gamma[q]. \quad (1.169) \] 可实现路径 q 满足拉格朗日方程 \[ \bar{E}[L][q] = 0. \quad (1.170) \] 路径依赖的拉格朗日方程可以使用 \(\bar{\Gamma}\) 转换为局部拉格朗日方程 \[ E[L] = \bar{\Gamma}(\bar{E}[L]). \quad (1.171) \] 算符 E 称为欧拉-拉格朗日算符 (Euler-Lagrange operator). 就这个算符而言, 拉格朗日方程是 \[ E[L] \circ \Gamma[q] = 0. \quad (1.172) \] 应用 \(\bar{\Gamma}\) 的定义 (1.167) \[ E[L](t, q, v, \dots) = \bar{\Gamma}(\bar{E}[L])(t, q, v, \dots) \] \[ = D(\partial_2 L \circ \Gamma[O(t, q, v, \dots)]) \] \[ - \partial_1 L \circ \Gamma[O(t, q, v, \dots)] \]

\[ = (D_t(\partial_2 L))(t, q, v, \dots) - \partial_1 L(t, q, v, \dots) \] \[ = (D_t \partial_2 L - \partial_1 L)(t, q, v, \dots). \quad (1.173) \] 因此欧拉-拉格朗日算符显式地为 \[ E[L] = D_t \partial_2 L - \partial_1 L. \quad (1.174) \] 过程 Euler-Lagrange-operator 实现 E

(define (Euler-Lagrange-operator L)
  (- (Dt ((partial 2) L)) ((partial 1) L))).

例如, 应用于谐振子的拉格朗日量,

(print-expression
 ((Euler-Lagrange-operator
   (L-harmonic 'm 'k))
  (->local 't 'x 'v 'a)))

注意局部元组的分量是单独指定的. 使用方程 (1.172), 谐振子的拉格朗日方程是:⁸⁸

(print-expression
 ((compose
   (Euler-Lagrange-operator (L-harmonic 'm 'k))
   (Gamma (literal-function 'x) 4))
  't))

令 F 和 G 为两个类拉格朗日量的局部元组函数, C 为局部元组变换函数, c 为常数. 证明以下性质: a. \(E[F + G] = E[F] + E[G]\) b. \(E[c F] = c E[F]\) c. \(E[F G] = E[F] G + F E[G] + (D_t F) \partial_2 G + \partial_2 F (D_t G)\) d. \(E[F \circ C] = D_t(DF \circ C) \partial_2 C + DF \circ C E[C]\)

考虑不依赖于速度的约束: \[ \partial_2 \phi \equiv 0. \] 在这种情况下, 如果满足以下条件, 则变分与约束曲面相切 \[ (\partial_1 \phi \circ \Gamma) \eta = 0. \quad (1.180) \] 总之, 方程 (1.177) 和 (1.180) 应该确定运动, 但我们如何消除 \(\eta\)? 拉格朗日方程的残差与任何正交于约束曲面法线的 \(\eta\) 都正交.⁹⁰ 一个与所有正交于给定向量的向量都正交的向量与给定向量平行. 因此, 拉格朗日方程的残差与约束曲面的法线平行; 两者必须成比例: \[ D(\partial_2 L \circ \Gamma[q]) - \partial_1 L \circ \Gamma[q] = \lambda (\partial_1 \phi) \circ \Gamma[q]. \quad (1.181) \] 两个向量沿路径处处平行并不能保证比例因子在路径上每个时刻都相同, 因此比例因子 \(\lambda\) 是某个时间的函数, 可能取决于所考虑的路径. 这些方程, 连同约束方程 \(\phi \circ \Gamma[q] = 0\), 是控制方程. 这些方程足以确定路径 q 并消除未知函数 \(\lambda\).

现在注意看这个 假设我们形成一个增广拉格朗日量, 将 \(\lambda\) 视为坐标之一 \[ L'(t; q, \lambda; \dot{q}, \dot{\lambda}) = L(t, q, \dot{q}) + \lambda \phi(t, q, \dot{q}). \quad (1.182) \] 与坐标 q 相关的拉格朗日方程正是修正后的拉格朗日方程 (1.181), 而与 \(\lambda\) 相关的拉格朗日方程只是约束方程. (注意 \(\dot{\lambda}\) 没有出现在增广拉格朗日量中.) 因此, 这个增广拉格朗日量的拉格朗日方程完全概括了通过添加显式坐标约束而施加于拉格朗日方程的修正, 代价是引入了额外的自由度. 注意这个拉格朗日量与我们在推导刚性系统 \(L=T-V\) (1.6.2 节) 中使用的拉格朗日量 (1.89) 形式相同.

或者 我们怎么知道我们有足够的信息来消除方程 (1.181) 中的未知函数 \(\lambda\), 或者在拉格朗日量 (1.182) 中引入的额外自由度纯粹是形式上的? 如果 \(\lambda\) 可以写成解状态路径的函数, 那么很明显它由状态确定, 因此可以被消除. 好的, 假设 \(\lambda\) 可以写成状态依赖函数与路径的复合: \(\lambda = \Lambda \circ \Gamma[q]\). 考虑拉格朗日量 \[ L'' = L + \Lambda \phi. \quad (1.183) \] 这个新的拉格朗日量没有额外的自由度. L'' 的拉格朗日方程是 L 的拉格朗日方程加上由 \(\Lambda \phi\) 乘积产生的附加项. 应用欧拉-拉格朗日算符 E (参见 1.9 节) 到这个拉格朗日量得到⁹¹ \[ E[L''] = E[L] + E[\Lambda \phi] \] \[ = E[L] + \Lambda E[\phi] + E[\Lambda] \phi + D_t \Lambda \partial_2 \phi + \partial_2 \Lambda D_t \phi. \quad (1.184) \] 将 E[L''] 与 \(\Gamma[q]\) 复合得到路径 q 的拉格朗日方程. 利用约束在路径 \(\phi \circ \Gamma[q] = 0\) 上满足的事实, 因此 \(D_t \phi \circ \Gamma[q] = 0\), 我们有 \[ E[L''] \circ \Gamma[q] = (E[L] + \lambda E[\phi] + D\lambda (\partial_2 \phi)) \circ \Gamma[q], \quad (1.85) \]

a. 制作另一个与本节描述的弹簧质量结构兼容的原始组件. 例如, 制作一个可以连接到弹簧-质量系统的摆锤. 构建一个组合并推导运动方程. 小心, 如果你选择不好的坐标, 代数会很可怕. b. 对于一个不错的小项目, 构建一个由适当拉格朗日量表征的兼容机械部件族, 可以以各种方式组合以制作有趣的机构. 记住, 在一个好的语言中, 组合部件的结果应该是同一类型的部件, 可以与其他部件进一步组合.

再次考虑练习 1.18 中约束在三轴椭球面上运动的珠子的运动. 使用直角坐标作为广义坐标, 并带有明确的约束条件, 即珠子停留在表面上, 来重新表述这个问题. 找到一个拉格朗日量并证明拉格朗日方程等价于练习 1.18 中找到的方程.

考虑一个理想化为质点的高尔夫球的运动, 该质点约束在一个高度变化的无摩擦光滑表面 \(h(x, y)\) 上, 在加速度为 g 的均匀引力场中. a. 为该系统找到一个增广拉格朗日量, 并推导控制质点在 x 和 y 中运动的方程. b. 在什么条件下, 这可以用势能函数 \(V(x, y) = mgh(x, y)\) 来近似? c. 假设我们有一个关于 \(x=y=0\) 轴对称的 \(h(x, y)\). 你能找到这样一个 h, 它产生具有闭合轨道的运动吗?

考虑一个摆锤: 质量为 m 的物体支撑在长度为 l 的无质量杆上, 在均匀引力场中. 摆锤的拉格朗日量为: \[ L(t, \theta, \dot{\theta}) = \frac{m}{2} (l \dot{\theta})^2 + mgl \cos \theta \] 对于摆锤, 运动周期取决于振幅. 我们希望找到具有给定频率的摆锤轨迹. 有三种方法可以做到这一点: (1) 通过最小作用量原理求解, (2) 拉格朗日方程的数值积分, (3) 解析解 (这需要一些椭圆函数的知识). 我们将执行所有三种方法, 并比较解轨迹. 具体来说, 考虑参数 \(m=1\)kg, \(l=1\)m, \(g=9.8\)m s\(^{-2}\). 小振幅振荡的频率是 \(\omega_0 = \sqrt{g/l}\). 让我们找到频率为 \(\omega_1 = \frac{4}{5} \omega_0\) 的非平凡解. a. 角度随时间是周期性的, 因此傅里叶级数表示是合适的. 我们可以选择时间原点, 使得角度的零点交叉在时间零点. 由于势能在角度上是偶函数, 角度是时间的奇函数. 因此我们只需要一个正弦级数. 由于角度在半个周期后返回零, 角度关于中点是时间的奇函数. 因此级数中只有奇数项存在: \[ \theta(t) = \sum_{n=1}^\infty A_n \sin((2n-1)\omega_1 t). \] 轨迹的振幅是 \(A = \theta_{\max} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} A_n\). 通过最小化作用量找到前几个系数 \(A_n\) 的近似值. 你将需要编写一个类似于 1.4 节中 find-path 过程的程序. 注意: 最小化作用量的轨迹不止一条. b. 编写一个程序来数值积分摆锤轨迹的拉格朗日方程. 使用数值积分解决这个问题的麻烦在于我们不知道运动频率如何依赖于初始条件. 所以我们必须猜测, 然后逐渐改进我们的猜测. 定义一个函数 \(\Omega(\dot{\theta})\), 它数值计算运动频率作为初始角速度的函数 (当 \(\theta=0\) 时). 通过求解 \(\Omega(\dot{\theta}) = \omega_1\), 找到所需轨迹的初始角速度. 求解这个方程的方法包括逐次二分法, 最小化平方残差等——任选一种. c. 现在让我们制定频率作为振幅函数的解析解. 运动周期很简单 \[ T = 4 \int_0^{T/4} dt = 4 \int_0^A \frac{1}{\dot{\theta}} d\theta. \] 利用能量守恒, 解出 \(\dot{\theta}\) 关于振幅 A 和 \(\theta\), 以显式写出所需的积分. 这个积分可以用椭圆函数表示, 但在某种意义上这并不能解决问题——我们仍然需要计算椭圆函数. 让我们避免深入研究椭圆函数, 只使用 definite-integral 过程数值计算积分. 我们仍然面临一个问题, 我们可以指定振幅 A 并得到频率, 但要解决我们的问题, 我们需要解决反问题, 但这可以像 b 部分那样完成.

考虑图 1.11 中所示的理想双摆.

a. 建立描述动力学的拉格朗日量. 推导用给定角度 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 表示的运动方程. 将方程写成适合数值积分的形式. 假设以下系统参数: g = 9.8 m/sec\(^2\) l1 = 1.0 m l2 = 0.9 m m1 = 1.0 kg m2 = 3.0 kg b. 准备图表, 显示当系统从以下初始条件开始时, 每个角度随时间变化的行为: \(\theta_1(0) = \pi/2\) 弧度 \(\theta_2(0) = \pi\) 弧度 \(\dot{\theta}_1(0) = 0\) 弧度/秒 \(\dot{\theta}_2(0) = 0\) 弧度/秒 使图表扩展到 50 秒. 将状态点以 0.125 秒的间隔保存在一个列表中. c. 制作一个图表, 显示系统能量随时间变化的行为. 能量应该是守恒的. 你得到的守恒性有多好? d. 重复 b 部分的实验, 但使 m2 摆锤比之前高 \(10^{-10}\) m. 形成两个实验中 m2 摆锤之间距离平方差的列表, 并绘制该值的对数随时间的变化. 你看到了什么? e. 重复之前的比较, 但这次使用以下初始条件: \(\theta_1(0) = \pi/2\) 弧度 \(\theta_2(0) = 0\) 弧度 \(\dot{\theta}_1(0) = 0\) 弧度/秒 \(\dot{\theta}_2(0) = 0\) 弧度/秒 你在这里看到了什么?

通过将 \(\xi_\alpha\) 分解为平行于和垂直于旋转轴 \(\hat{\omega}\) 的分量, 可以找到转动动能的一个有趣的替代形式. 证明转动动能也可以写成 \[ T_R = \frac{1}{2} I \omega^2, \] 其中 I 是物体绕穿过质心且方向为 \(\hat{\omega}\) 的线的转动惯量, ω 是瞬时旋转速率.

设 I 是物体相对于穿过质心的某条给定线的转动惯量. 证明相对于平行于第一条线的第二条线的转动惯量 I' 是 \[ I' = I + MR^2 \] 其中 M 是物体的总质量, R 是两条线之间的距离.

证明以下物体的转动惯量如下所示: a. 质量为 M, 半径为 R 的均匀密度球体绕穿过其中心的任何直线的转动惯量是 \(\frac{2}{5} MR^2\). b. 质量为 M, 半径为 R 的球壳绕穿过其中心的任何直线的转动惯量是 \(\frac{2}{3} MR^2\). c. 质量为 M, 半径为 R 的均匀密度圆柱体绕其轴线的转动惯量是 \(\frac{1}{2} MR^2\). d. 单位长度密度均匀, 质量为 M, 长度为 L 的细杆绕穿过其质心且垂直于杆的轴线的转动惯量是 \(\frac{1}{12} ML^2\).

a. 行星的密度向中心增加. 给出一个论证, 说明行星的转动惯量小于具有相同质量和半径的均匀密度球体的转动惯量. b. 木星内部密度随半径的函数很好地近似为 \[ \rho(r) = \frac{M}{R^3} \frac{\sin(\pi r/R)}{4r/R}, \]

其中 M 是质量, R 是木星的半径. 求木星的转动惯量, 用 M 和 R 表示.

证明任意两个惯性矩之和大于第三个惯性矩.

对于下面描述的每种构型, 找出相对于质心的主惯性矩; 找出相应的主轴. a. 一个正四面体, 由四个相等的质点用刚性无质量线连接而成. b. 一个均匀密度的立方体. c. 五个相等的质点由无质量材料刚性连接. 质点位于直角坐标: \((-1, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 1)\)

测量这本书. 你会承认它相当密集. 别担心, 你稍后会扔掉它. 证明主轴是连接理想化近似该书的砖块相对面中心的线. 计算相应的主惯性矩.

以下过程给出了沿路径

(define (((M-of-q->omega-of-t M-of-q) q) t)
  (define M-on-path (compose M-of-q q))
  (define (omega-cross t)
    (* ((D M-on-path) t)
       (m:transpose (M-on-path t))))
  (antisymmetric->column-matrix (omega-cross t)))

过程 omega-cross 产生 ω× 的矩阵表示. 过程 antisymmetric->column-matrix, 对应于函数 \(A^{-1}\), 用于从反对称 ω× 矩阵中提取角速度向量的分量. 沿路径的角速度向量的体分量是

(define (((M-of-q->omega-body-of-t M-of-q) q) t)
  (* (m:transpose (M-of-q (q t)))
     (((M-of-q->omega-of-t M-of-q) q) t)))

我们可以通过沿具有给定坐标和速度的任意路径抽象这些过程来获得给出角速度分量的局域状态过程. 状态过程的抽象由 Gamma-bar 完成(见 1.6.1 节):

(define (M->omega M-of-q)
  (Gamma-bar
   (M-of-q->omega-of-t M-of-q)))
(define (M->omega-body M-of-q)
  (Gamma-bar
   (M-of-q->omega-body-of-t M-of-q)))

这些过程给出角速度作为状态的函数. 我们将在得到一些可以使用的 M-of-q 之后看到它们的实际应用.

并非所有方向都可以用欧拉角表示这一点并不明显. 为了证明欧拉角足以表示所有方向, 请解出给出任意旋转 R 的欧拉角. 请记住, 某些方向不对应于欧拉角的唯一表示.

虽然欧拉角允许我们指定所有方向, 因此可以用作广义坐标, 但欧拉角的定义是相当随意的. 事实上, 没有任何推理引导我们找到它们, 这反映在我们仅仅说" 它们就在这里" 的表述方式中. 欧拉角适用于某些问题, 而对其他问题则很麻烦. 还有其他定义类似角度集的方法. 例如, 我们也可以取我们的广义坐标来满足 \[ M'(\theta, \phi, \psi) = R_x(\phi) R_y(\theta) R_z(\psi). \] 欧拉角的这种替代方案有时会派上用场.

每个基本旋转都可以表示为一个矩阵. 表示绕 z 轴右手旋转角度 ψ 的旋转矩阵是 \[ R_z(\psi) = \begin{pmatrix} \cos\psi & -\sin\psi & 0 \\ \sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 表示绕 x 轴右手旋转角度 ψ 的旋转矩阵是 \[ R_x(\psi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\psi & -\sin\psi \\ 0 & \sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix}. \] 表示将物体从其参考方向带到实际方向的旋转矩阵是 \[ R_z(\phi) R_x(\theta) R_z(\psi). \] 旋转矩阵及其乘积可以通过简单的程序构造:

(define (rotate-z-matrix angle)
  (matrix-by-rows
   (list (cos angle) (- (sin angle))   0)
   (list (sin angle) (cos angle)     0)
   (list          0           0       1)))
(define (rotate-x-matrix angle)
  (matrix-by-rows
   (list          1           0               0)
   (list          0  (cos angle) (- (sin angle)))
   (list          0  (sin angle) (cos angle))))
(define (Euler->M angles)
  (let ((theta (ref angles 0))
        (phi   (ref angles 1))
        (psi   (ref angles 2)))
    (* (rotate-z-matrix phi)
       (rotate-x-matrix theta)
       (rotate-z-matrix psi))))

现在我们有了一个实现示例 M 的过程, 我们可以使用过程从 2.6 节中找到角速度向量的分量和角速度向量的体分量

M-of-q->omega-of-t 和 M-of-q->omega-body-of-t. 例如,

(show-expression
 (((M-of-q->omega-body-of-t Euler->M)
   (up (literal-function 'theta)
       (literal-function 'phi)
       (literal-function 'psi)))
  't))

为了构造动能, 我们需要给出角速度向量体分量的状态过程:

(show-expression
 ((M->omega-body Euler->M)
  (up 't
      (up 'theta 'phi 'psi)
      (up 'thetadot 'phidot 'psidot))))

我们将这个结果捕获为一个过程:

(define (Euler-state->omega-body local)
  (let ((q (coordinate local)) (qdot (velocity local)))
    (let ((theta (ref q 0))
          (psi (ref q 2))
          (thetadot (ref qdot 0))
          (phidot (ref qdot 1))
          (psidot (ref qdot 2)))
      (let ((omega-a (+ (* thetadot (cos psi))
                        (* phidot (sin theta) (sin psi))))
            (omega-b (+ (* -1 thetadot (sin psi))
                        (* phidot (sin theta) (cos psi))))
            (omega-c (+ (* phidot (cos theta)) psidot)))
        (column-matrix omega-a omega-b omega-c)))))

动能可以写作:

(define ((T-rigid-body A B C) local)
  (let ((omega-body (Euler-state->omega-body local)))
    (* 1/2
       (+ (* A (square (ref omega-body 0)))
          (* B (square (ref omega-body 1)))
          (* C (square (ref omega-body 2)))))))

验证转动角动量 (2.51) 的分量用惯性张量表示的表达式 (2.52) 是正确的.

我们可以定义计算主轴上角动量分量的过程:

(define ((Euler-state->L-body A B C) local)
  (let ((omega-body (Euler-state->omega-body local)))
    (column-matrix (* A (ref omega-body 0))
                   (* B (ref omega-body 1))
                   (* C (ref omega-body 2)))))

然后我们将主轴上的角动量分量变换到固定基 \(\hat{e}_i\) 上的分量:

(define ((Euler-state->L-space A B C) local)
  (let ((angles (coordinate local)))
    (* (Euler->M angles)
       ((Euler-state->L-body A B C) local))))

这些过程是局域状态函数, 像拉格朗日量一样.

自由刚体的拉格朗日量没有显式时间依赖性, 所以我们可以推断能量, 即动能, 是运动守恒量. 拉格朗日量不依赖于欧拉角 φ, 所以我们可以推断与该坐标共轭的动量

是守恒的. 与 φ 共轭的动量的显式表达式是:

(define Euler-state
  (up 't
      (up 'theta 'phi 'psi)
      (up 'thetadot 'phidot 'psidot)))
(show-expression
 (ref (((partial 2) (T-rigid-body 'A 'B 'C)) Euler-state)
      1))

我们知道这个复杂的量是由于拉格朗日量的对称性而被刚体运动守恒的. 如果没有外部扭矩, 那么我们期望矢量角动量是守恒的. 我们可以使用问题的拉格朗日表述来验证这一点. 首先, 我们注意到 \(L_z\) 与 \(p_\phi\) 相同. 我们可以通过直接计算来检查这一点:

(print-expression
 (- (ref ((Euler-state->L-space 'A 'B 'C) Euler-state)
         2)
    (ref (((partial 2) (T-rigid-body 'A 'B 'C)) Euler-state)
         1)))
;Value: 0

我们知道 \(p_\phi\) 是守恒的, 因为自由刚体的拉格朗日量没有提到 φ, 所以现在我们知道 \(L_z\) 是守恒的. 由于坐标轴的方向是任意的, 我们知道如果任何直角分量是守恒的, 那么它们都是守恒的. 所以矢量角动量对于自由刚体是守恒的. 当然, 我们可以借助诺特定理(见 1.8.4 节)看到这一点. 存在一个连续的旋转族, 可以将任何方向变换为任何其他方向. 我们用来定义欧拉角的坐标轴方向是任意的, 并且动能(拉格朗日量)

对于任何坐标系选择都是相同的. 因此, 情况满足诺特定理的要求, 该定理告诉我们存在一个守恒量. 特别是, 绕每个坐标轴的旋转族为我们提供了该轴上角动量分量的守恒. 我们通过组合这些贡献来构造矢量角动量.

填写诺特定理蕴含矢量角动量被自由刚体运动守恒的论证细节.

用欧拉角表示的自由刚体运动的拉格朗日方程相当恶心, 所以我们不在这里展示它们. 然而, 我们将使用拉格朗日方程来探索自由刚体的运动.

在这样做之前, 值得注意的是, 用欧拉角表示的运动方程对于某些构型是奇异的, 因为对于这些构型, 欧拉角不是唯一定义的. 如果我们设 θ=0, 那么一个方向不对应于 φ 和 ψ 的唯一值; 只有它们的和决定方向.

当我们试图求解广义坐标的二阶导数, 用广义坐标和广义速度表示时(见 1.7 节), 奇异性出现在显式拉格朗日方程中. 隔离二阶导数需要乘以 \(\partial_2 \partial_2 L\) 的逆. 当欧拉角 θ 为零时, 这个量的行列式变为零.

(show-expression
 (determinant
  (((square (partial 2)) (T-rigid-body 'A 'B 'C))
   Euler-state)))

所以当 θ 为零时, 我们无法求解二阶导数. 当 θ 很小时, 欧拉角可以非常快速地移动, 因此可能难以可靠地计算. 当然, 刚体的运动对于任何方向都是行为良好的. 这是

欧拉角表示该运动的问题; 这是一个" 坐标奇异点" . 解决这个问题的一种方法是使用另一组欧拉型坐标, 其拉格朗日方程对于不同的方向具有奇异性, 例如方程 (2.40) 中定义的那些. 因此, 随着计算的进行, 如果我们接近一组坐标的奇异点, 我们可以切换并使用另一组一段时间, 直到它们遇到奇异点. 这解决了问题, 但很麻烦. 目前我们将忽略这个问题, 并计算一些轨迹, 小心地将我们的注意力限制在避免奇异性的轨迹上.

我们将通过数值积分计算一些轨迹, 并通过观察能量和角动量的守恒情况来检查我们的积分过程. 然后, 我们将研究主轴基上角动量分量的演化. 我们将发现, 通过组合我们从能量和角动量获得的信息, 我们可以学到很多关于刚体定性行为的知识.

要从初始条件发展轨迹, 我们积分拉格朗日方程, 就像我们在第 1 章中所做的那样. 系统导数从拉格朗日量获得:

(define (rigid-sysder A B C)
  (Lagrangian->state-derivative (T-rigid-body A B C)))

以下程序监视能量和角动量分量的误差:

(define ((monitor-errors win A B C L0 E0) state)
  (let ((t (time state))
        (L ((Euler-state->L-space A B C) state))
        (E ((T-rigid-body A B C) state)))
    (plot-point win t (relative-error (ref L 0) (ref L0 0)))
    (plot-point win t (relative-error (ref L 1) (ref L0 1)))
    (plot-point win t (relative-error (ref L 2) (ref L0 2)))
    (plot-point win t (relative-error E E0))))

(define (relative-error value reference-value)
  (if (zero? reference-value)
      (error "Zero reference value -- RELATIVE-ERROR")
      (/ (- value reference-value) reference-value)))

我们制作一个绘图窗口来显示误差:

(define win (frame 0. 100. -1.e-12 1.e-12))

默认积分方法是 Bulirsch-Stoer (bulirsch-stoer); 这里使用的积分方法是质量控制的龙格-库塔 (qcrk4):

(set! *ode-integration-method* 'qcrk4)

我们使用 evolve 来研究演化:

(let ((A 1.) (B (sqrt 2.)) (C 2.) ; moments of inertia
      (state0 (up 0.0             ; initial state
                  (up 1. 0. 0.)
                  (up 0.1 0.1 0.1))))
  (let ((L0 ((Euler-state->L-space A B C) state0))
        (E0 ((T-rigid-body A B C) state0)))
    ((evolve rigid-sysder A B C)
     state0
     (monitor-errors win A B C L0 E0)
     0.1                                ; step between plotted points
     100.0                              ; final time
     1.0e-12)))                         ; max local truncation error

角动量分量和能量的相对误差(见图 2.2)的发展图表明, 我们已经成功地控制了守恒量的误差. 这应该让我们对演化出的轨迹有一定的信心.

主轴上角动量分量的演化具有显著的特性. 对于几乎所有的初始条件, 角动量的体分量周期性地描绘出一条简单的闭合曲线. 我们可以通过研究多个轨迹, 并将物体在主轴上的角动量分量绘制出来(见图 2.3)来看到这一点. 对于大多数初始条件, 我们找到一条一维简单闭合曲线. 轨迹看起来交叉是因为它们被投影了. 存在特殊的初始条件会产生轨迹, 称为分界线, 它们似乎在两个点相交.

为了制作这个图, 计算了许多等能量的轨迹. 角动量体分量的三维空间

被投影到一个二维平面上进行显示. 这个恒定能量椭球投影背面上的点以比椭球前面上的点更低的密度绘制.

发生了什么? 自由刚体的状态空间是六维的: 三个欧拉角及其时间导数. 我们知道四个运动常数–角动量的三个空间分量 Lx, Ly, Lz, 以及能量 E. 因此, 运动被限制在状态空间的二维区域内. ⁹ 我们的实验表明, 角动量的分量在角动量子空间中描绘出一维闭合曲线, 所以这里还有更多的事情发生.

如果所有分量都守恒, 则总角动量守恒, 所以我们也有常数 \[ L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2. \]

我们已经断言, 陀螺的动能是绕枢轴点的转动动能. 证明这与绕其质心的转动动能和质心运动的动能之和相同.

a. 进行代数运算以获得用 θ 和 \(\dot{\theta}\) 表示的能量 (2.66). b. 数值积分陀螺的拉格朗日方程以获得图 2.5, θ 对时间. c. 注意能量是 \(\dot{\theta}\) 关于 θ 的微分方程, 其中守恒量 \(p_\phi, p_\psi\) 和 E 由初始条件确定. 我们能否使用这个微分方程来获得 θ 作为时间的函数? 解释.

考虑一个旋转使得 θ 恒定的陀螺. a. 使用角动量积分, 计算进动速率 \(\dot{\phi}\). b. 假设 \(\dot{\psi}\) 非常大. 通过将角动量的变化率等同于质心上的引力扭矩, 推导进动速率的近似公式. c. 数值积分陀螺并检查你的估计. 研究进动速率如何随 θ 变化, 保持其他输入固定.

首要任务是推导刚体与远处点质量相互作用的引力势能的方便表达式. 刚体可以被认为是大量质量元素组成的, 受刚性坐标约束. 我们已经看到刚体的动能可以方便地用物体的转动惯量和角速度向量表示, 而角速度向量又可以用合适的广义坐标表示. 势能也可以用类似的方式推导. 我们首先用质量分布的矩来表示势能, 稍后将广义坐标作为势能的特定参数引入.

点质量和刚体(见图 2.9)的引力势能是点质量与每个质量元素相互作用的势能之和: \[ - \sum_\alpha \frac{GM' m_\alpha}{r_\alpha} \]

其中 M' 是外部点质量的质量, \(r_\alpha\) 是点质量与索引为 α 的组成质量元素之间的距离, \(m_\alpha\) 是该组成元素的质量, G 是引力常数. 设 R 是刚体质心到点质量的距离; R 是向量 \(x - X\) 的大小, 其中外部质量点位置为

x, 质心位置为 X. 从质心到索引为 α 的组成元素的向量是 \(\xi_\alpha\), 其大小为 \(\xi_\alpha\). 那么距离 \(r_\alpha\) 由余弦定理给出 \(r_\alpha^2 = R^2 + \xi_\alpha^2 - 2\xi_\alpha R \cos\theta_\alpha\), 其中 \(\theta_\alpha\) 是 \(x - X\) 与 \(\xi_\alpha\) 之间的夹角. 势能则为 \[ -GM' \sum_\alpha \frac{m_\alpha}{(R^2 + \xi_\alpha^2 - 2\xi_\alpha R \cos\theta_\alpha)^{1/2}}. \] 这很完整, 但我们需要找到一个不提及每个组成部分的表示.

通常, 天体的大小与它们之间的距离相比很小. 我们可以利用这一点来找到势能的更紧凑表示. 如果我们将势能展开为 \(\xi_\alpha/R\) 的小比率级数, 我们发现¹⁵ \[ -GM' \sum_\alpha m_\alpha \frac{1}{R} \sum_l \left( \frac{\xi_\alpha}{R} \right)^l P_l(\cos\theta_\alpha), \]

a. 填写细节, 证明方程 (2.72) 中对组成部分的求和可以用转动惯量表示. 特别地, 证明 \[ \sum_\alpha m_\alpha \xi_\alpha \cos\theta_\alpha = 0, \] \[ \sum_\alpha m_\alpha \xi_\alpha^2 = 2(A + B + C), \] 并且 \[ \sum_\alpha m_\alpha \xi_\alpha^2 (\sin\theta_\alpha)^2 = I. \]

我们推导出的势能近似可以用于许多不同的问题. 例如, 它可以用来研究地球扁率对人造卫星演化的影响, 或者包含行星扁率对天然卫星轨道演化的影响, 例如月球或木星的伽利略卫星. 然而, 作为这里的主要应用, 我们将用它来研究天然卫星和行星的自转动力学.

势能取决于点质量相对于刚体的位置以及刚体的方向. 因此, 变化的方向与轨道演化耦合; 彼此相互影响. 然而, 在许多情况下, 物体方向对轨道演化的影响可以忽略不计. 理解这一点的一种方法是查看势能 (2.74) 中两项的相对大小. 我们已经知道, 第二项保证比第一项小一个因子 \((\xi_{\text{max}}/R)^2\), 但通常它甚至更小, 因为所涉及的物体近似球形. 例如, 月球的半径约为地球半径的三分之一, 到月球的距离约为 60 个地球半径. 因此, 由于尺寸因子, 第二项比第一项小约 \(10^{-4}\) 倍. 此外, 月球大致是球形的, 对于任何方向, 组合 \(A+B+C-3I\) 的数量级约为 \(10^{-4} C\). 现在 C 本身约为 \(\frac{2}{5} MR^2\), 因为月球的密度随半径变化不大. 所以对于月球, 第二项的数量级相对于第一项约为 \(10^{-8}\). 即使月球方向发生剧烈变化, 对月球轨道几乎没有动力学影响.

我们可以通过研究一个简化的模型问题来了解方向动力学的一些重要的定性方面. 首先, 我们假设物体绕其最大惯性矩旋转. 这是一个自然的假设. 记住, 对于一个自由

刚体, 能量损失同时保持角动量守恒导致绕最大惯性矩旋转. 对于太阳系中的大多数天体, 都观测到这种情况. 其次, 我们假设自转轴垂直于轨道运动. 这对于天然卫星的自转是一个很好的近似, 并且是潮汐摩擦的自然结果–由行星引力相互作用在卫星上引起的耗散固体潮汐. 最后, 为简单起见, 我们取刚体在固定的椭圆轨道上运动. 这可能近似某些物理系统的运动, 前提是轨道演化的时间尺度与我们研究的自转动力学相关的任何时间尺度相比很大. 所以我们有一个很好的玩具问题. 这个问题已被用来研究水星, 月球和其他天然卫星的自转动力学. 它对火星卫星火卫一的自转做出了具体预测, 可以与观测结果进行比较. 它提供了对水星每绕太阳两圈精确自转 3 次这一事实的基本理解, 并且是理解土星卫星土卫七混沌翻滚的起点.

我们假设轨道不改变或进动. 轨道是一个椭圆, 点质量位于椭圆的一个焦点上. 角度 f(见图 2.10)测量刚体在其轨道上相对于轨道上两体最接近点的相对位置. ¹⁸ 我们假设轨道是一个固定的椭圆, 因此角度 f 和距离 R 是时间的周期函数, 周期等于轨道周期. 由于自转轴被约束垂直于轨道平面, 刚体的方向由单一自由度指定: 物体绕自转轴的方向. 我们用广义坐标 θ 指定这个方向, 它测量到 \(\hat{a}\) 主轴的角度, 从与我们测量 f 的同一条线, 即通过最近点的线开始.

指定了坐标系后, 我们可以计算动能和势能的细节, 从而找到拉格朗日量. 动能是 \[ T(t, \theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} C \dot{\theta}^2, \] 其中 C 是绕自转轴的转动惯量, 物体绕 \(\hat{c}\) 轴的角速度是 \(\dot{\theta}\). 其他主轴上没有角速度分量.

要得到势能的显式表达式, 我们必须用 θ 和 f 写出方向余弦: \(\alpha = \cos\theta_a = -\cos(\theta-f)\), \(\beta = \cos\theta_b = \sin(\theta-f)\), \(\gamma = \cos\theta_c = 0\), 因为 \(\hat{c}\) 轴垂直于轨道平面. 势能则为 \[ - \frac{GM'M}{R} - \frac{1}{2} \frac{GM'}{R^3} [ (1 - 3\cos^2(\theta-f)) A + (1 - 3\sin^2(\theta-f)) B + C ]. \] 由于我们假设轨道是给定的, 我们只需要保留依赖于 θ 的项. 将余弦和正弦的平方用倍角展开, 并丢弃所有

填写方程 (2.96) 推导的细节. 您可能需要使用计算机来帮助进行代数运算.

欧拉方程是为自由刚体推导出来的. 一般来说, 我们必须能够处理外部力. 我们该怎么做? 首先, 我们推导矢量扭矩的表达式. 然后我们将矢量扭矩包含在欧拉方程中.

我们以类似于推导矢量角动量的方式推导矢量扭矩. 也就是说, 我们推导一个分量, 然后论证由于坐标系是任意的, 所有分量都具有相同的形式.

假设我们有一个刚体, 受到某个仅取决于时间和构型的势能的影响. 拉格朗日量是 \(L=T-V\). 如果我们使用欧拉角作为广义坐标, 定义方向的三个主动欧拉旋转中的最后一个是绕 z 轴的旋转. 这个旋转的大小由角度 φ 给出. φ 的拉格朗日方程给出²¹ \[ Dp_\phi(t) = -\partial_{1,1} V(t; \theta(t), \phi(t), \psi(t)). \] 如果我们定义扭矩的 z 分量 \(T_z\) 为势能关于物体绕 z 轴旋转角度的导数的负值, \[ T_z(t) = -\partial_{1,1} V(t; \theta(t), \phi(t), \psi(t)), \] 那么我们看到 \[ Dp_\phi(t) = T_z(t). \] 我们已经将与 φ 共轭的动量确定为矢量角动量 L 的一个分量 \(L_z\)(见 2.9 节), 所以 \[ DL_z(t) = T_z. \] 由于参考直角基向量的方向是任意的, 我们可以选择它们以任何我们喜欢的方式. 因此, 如果我们想要矢量扭矩的任何分量, 我们可以选择 z 轴, 以便我们可以用这种方式计算它. 我们可以得出结论, 矢量扭矩给出了矢量角动量的变化率 \[ D\mathbf{L} = \mathbf{T}. \] 获得了矢量扭矩的一般规定后, 我们讨论如何将矢量扭矩包含在欧拉方程中. 欧拉方程表达了矢量角动量

要使用方向向量, 我们面临着在方向向量表示与其他表示之间进行转换的实际问题. 我们可以将旋转矩阵 M 视为一个中间的通用表示. 无论选择哪种广义坐标, 我们都必须能够计算坐标对应的旋转矩阵. 我们还必须解决相反的问题–从旋转矩阵确定广义坐标.

我们已经有了用方向向量表示旋转矩阵的显式形式, 方程 (2.118), 为方便起见在此重复, \[ M = I \cos o + A \sin o + S(1 - \cos o). \] 我们可以通过检查同一个方程来解决相反的问题. 我们注意到对 M 的贡献中有两部分是对称的, 一部分是反对称的. 我们可以通过减去转置来隔离反对称分量. 我们有 \[ A \sin o = \frac{1}{2} (M - M^T). \] 但是矩阵 A 仅与方向向量相关 \[ A = A\left(\frac{o}{o}\right). \]

我们使用逆运算 \(A^{-1}\) 从反对称 3x3 矩阵中提取 3 向量的分量. 所以我们有 \[ \frac{o}{o} = A^{-1}(A). \] 注意关于旋转大小 o 的信息本身在 A 中不可用. 然而, M 及其转置的组合产生了一个缩放版本的 A, 可以从中恢复旋转的大小 \[ \frac{\sin o}{o} o = A^{-1} \left( \frac{1}{2} (M - M^T) \right). \] 左侧向量的长度就是 sin o. 这并不能唯一确定 o, 因为 o 的范围是 0 到 π. 要完全确定 o, 从而确定 o, 我们需要更多信息, 例如通过确定 cos o. 我们可以很容易地得到 cos o. 检查分量表明 \[ \cos o = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \text{trace} (M + M^T) - 1 \right). \] 确定了 o 的正弦和余弦后, 我们可以确定 o. 当然, 这些表达式中有些包含可能为零的 o 的除法, 但如果 o=0, 则方向向量就是零向量. 这完成了从方向向量到方向向量以及从方向向量出发的实际问题的解决.

我们可以问以下问题: " 两次旋转的复合对应于哪个旋转? " 或者, " 方向向量的代数是什么? " 我们拥有所有的部分, 回答这个问题只是计算问题. 给定由旋转矩阵 M₁ 和 M₂ 表示的两次旋转, 这些旋转复合的旋转矩阵是 M = M₂ M₁. 这些旋转矩阵中的每一个都可以转换为等效的方向向量. 我们可以定义复合 o = o₂ ◦ o₁. 设 \(\alpha = (\sin o)/o\), \(\beta = (1 - \cos o)/o^2\), \(\gamma = \cos o\). 通过直接计算, 我们发现

并且 \[ \gamma = \frac{1}{2}(1+\gamma_1)(1+\gamma_2) - 1 + \frac{1}{2}(\mathbf{o}_1 \cdot \mathbf{o}_2)^2 \beta_1 \beta_2 - (\mathbf{o}_1 \cdot \mathbf{o}_2) \alpha_1 \alpha_2, \] 它们共同确定了 o.

好吧, 公式相当复杂, 但事实证明, 通过一些重新整理, 它们可以变得非常简单. 设 \(c = \cos(o/2)\) 和 \(s = \sin(o/2)\), 并定义 \(q = (s/o)o\). 向量 q 是 o 的缩放版本; 向量 q 的大小不是 o, 而是 \(s = \sin(o/2)\). 注意, 如果 o 限制在小于 π 的大小, 那么旋转 o 的大小可以从 q 的大小恢复. 因此, 在此限制下, 向量 q 对应于唯一的旋转, 不需要额外信息. 尽管如此, 跟踪半角余弦和正弦都很方便; 因此令 \(q = c = \cos(o/2)\). ²² q=s 的大小和 q=c, 所以 \(q^2 + q \cdot q = 1\). 我们可以用 q 和 q 对每次旋转重新表达复合旋转的公式. 我们有

现在这是一个显著的简化! 由 q 和 q 的三个分量组成的 4 元组是哈密顿四元数的分量. 我们看到表示方向的四元数的向量部分是方向向量的缩放版本.

哈密顿发现了一种更优雅的书写两次旋转复合公式的方法. 引入三个单位四元数: i, j, k, 使得 \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\), \(ij = k\), \(jk = i\), \(ki = j\), 并且每个单位四元数反对易: \(ij = -ji\), 依此类推. 用 \((q_1, q_2, q_3)\) 表示 q 的三个分量, 用 \(q_0\) 表示 q. 然后定义复合四元数

验证用方向向量表示的两次旋转复合规则(方程 2.144 和 2.144)等价于乘以两个四元数的规则(方程 2.147).

用角速度向量表示方向四元数的运动方程.

编写并演示一个重现如图 2.3 所示图表的程序. 你能找到渐近于中间主轴上不稳定相对平衡点的轨迹吗?

在 60 年代发现水星的自转周期恰好是其轨道周期的 2/3. 我们可以在自旋-轨道模型问题中看到这种共振行为, 我们也可以玩一下轻推

水星一点, 看看自转速率可以偏离多远, 但仍被困在这个自旋-轨道共振中. 如果角速度失配太大, 水星的自转就不再与其轨道共振锁定. 设 \(\epsilon = 0.026\) 且 \(e = 0.2\).

a. 编写一个用于自旋-轨道问题的程序, 以便可以数值研究这种共振动力学. 你需要知道(或者, 更好的是, 证明! )f 满足方程 \[ Df = n(1-e^2)^{1/2} \left(\frac{a}{r}\right)^2, \] 其中 \[ \frac{a}{r} = \frac{1+e\cos f}{1-e^2}. \] b. 通过数值积分系统, 当自转不完全处于共振状态时, 证明 3:2 共振是稳定的, 并观察角度 \(\theta - \frac{3}{2}f\) 振荡. c. 找出这个共振角振荡的初始 \(\dot{\theta}\) 范围.

地球几乎绕着最大惯性矩旋转, 自转轴相对于轨道法线倾斜约 23°. 太阳对地球施加引力梯度扭矩, 导致地球自转轴进动. 在地球轨道是圆形的近似下, 研究这种进动, 并且地球是轴对称的. 用地球的转动惯量表示进动速率. content_copy download Use code with caution. Org

考虑一个简单的例子: 质量为 m 的质点在势能 V(x, y) 中的运动. 拉格朗日量为 \[ L(t; x, y; v_x, v_y) = \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2) - V(x, y). \] 要构造哈密顿量, 我们首先找到动量 p = ∂₂L(t, q, v): px = mvx 且 py = mvy. 由此容易解出速度关于动量的表达式: vx = px/m 且 vy = py/m. 哈密顿量是 H(t, q, p) = pv - L(t, q, v), 其中 v 用 (t, q, p) 重新表示: \[ H(t; x, y; p_x, p_y) = \frac{p_x^2 + p_y^2}{2m} + V(x, y). \]

对于以下每个拉格朗日量, 推导哈密顿量和哈密顿方程. 这些问题足够简单, 可以手动完成. a. 平面摆的拉格朗日量是 \(L(t, \theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + mgl \cos \theta\). b. 质量为 m 的粒子在二维势能 \(V(x, y) = (x^2 + y^2)/2 + x^2y - y^3/3\) 中的拉格朗日量是 \(L(t; x, y; \dot{x}, \dot{y}) = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) - V(x, y)\). c. 质量为 m 的粒子被约束在半径为 R 的球面上运动的拉格朗日量是 \(L(t; \theta, \phi; \dot{\theta}, \dot{\phi}) = \frac{1}{2} m R^2 (\dot{\theta}^2 + (\dot{\phi} \sin \theta)^2)\), 其中 θ 是余纬度, φ 是经度.

对于带滑动支撑的摆(见练习 1.20), 推导哈密顿量和哈密顿方程.

给定坐标路径 q 和拉格朗日量 L, 相应的动量路径 p 由方程 (3.2) 给出. 方程 (3.15) 以对应的哈密顿量 H 表示了相同的关系. 这些关系对任何路径都有效, 无论其是否可实现, 这使我们能够抽象出任意时刻的速度和动量. 在某个时刻, 状态元组 (t, q, v) 的动量 p 是 \(p = \partial_2 L(t, q, v)\). 我们也有 \(v = \partial_2 H(t, q, p)\). 在拉格朗日表述中, 系统的状态在某个时刻可以通过时间, 广义坐标和广义速度的局域状态元组 (t, q, v) 来指定. 拉格朗日方程确定了从这个状态出发的唯一路径. 在哈密顿表述中, 状态可以通过时间, 广义坐标和广义动量的元组 (t, q, p) 来指定. 哈密顿方程确定了从这个状态出发的唯一路径. 拉格朗日状态元组 (t, q, v) 与哈密顿状态元组 (t, q, p) 编码了完全相同的信息; 我们需要一个拉格朗日量或哈密顿量来关联它们. 两种表述是等价的, 因为对于等价的初始状态, 它们会产生相同的坐标路径.

从拉格朗日方程构造拉格朗日状态导数需要求解最高阶导数, 并抽象到任意位置和速度. ⁷ 拉格朗日状态路径是通过对给定的初始拉格朗日状态 (t, q, v) 积分拉格朗日状态导数生成的. 类似地, 哈密顿状态导数可以通过哈密顿方程抽象到任意位置和动量来构造. 哈密顿方程是一阶微分方程组, 形式明确. 哈密顿状态导数可以直接从中写出. 哈密顿状态路径是通过对给定的初始哈密顿状态 (t, q, p) 积分哈密顿状态导数生成的. 如果这些状态路径是通过对等价初始状态积分状态导数得到的, 那么这些状态路径的坐标路径分量是相同的, 并且满足拉格朗日方程. 哈密顿状态路径的坐标路径和动量路径分量满足哈密顿方程. 哈密顿表述和拉格朗日表述是等价的.

给定路径 q, 可以从中推导出拉格朗日状态路径和哈密顿状态路径. 拉格朗日状态路径

哈密顿方程是一个一阶微分方程组. 我们在 1.7 节中将拉格朗日方程的过程表述为一个一阶系统. 以下哈密顿方程的表述是类似的:

(define ((Hamilton-equations Hamiltonian) q p)
  (let ((H-state-path (qp->H-state-path q p)))
    (- (D H-state-path)
       (compose (phase-space-derivative Hamiltonian)
                H-state-path))))

哈密顿状态导数计算如下:

(define ((phase-space-derivative Hamiltonian) H-state)
  (up 1
      (((partial 2) Hamiltonian) H-state)
      (- (((partial 1) Hamiltonian) H-state))))

在哈密顿表述中, 状态由时间, 坐标和动量组成. 我们称之为 H-状态, 以区别于拉格朗日表述中的状态. 我们可以使用选择器 time, coordinate, momentum 来选择哈密顿状态的分量. 我们用 up 从它们的分量构造哈密顿状态. 状态的第一个分量是时间, 所以状态导数的第一个分量是 1, 即时间的变化率. 给定过程 q 和 p 实现坐标和动量路径函数, 哈密顿状态路径可以通过以下过程构造:

(define ((qp->H-state-path q p) t)
  (up t (q t) (p t)))

Hamilton-equations 过程返回给定路径的哈密顿方程的残差. 例如, 一个实现势能为 V(x, y) 的点质量的哈密顿量的过程是⁹

(define ((H-rectangular m V) H-state)
  (let ((q (coordinate H-state))
        (p (momentum H-state)))
    (+ (/ (square p) (* 2 m))
       (V (ref q 0) (ref q 1)))))

哈密顿方程是:

使用 Hamilton equations 过程检查您在练习 3.1 中的答案.

勒让德变换抽象了从拉格朗日表述转换到哈密顿力学表述过程中的一个关键部分–用对广义动量的函数依赖性替换对广义速度的函数依赖性. 动量状态函数定义为拉格朗日量的偏导数, 是一个关于时间, 坐标和速度的实值函数. 勒让德变换提供了一个给出以动量表示的速度的反函数: 我们

能够将速度写成另一个关于时间, 坐标和动量的实值函数的偏导数. ¹⁰ 给定一个实值函数 F, 如果能找到一个实值函数 G, 使得 \(DF = (DG)^{-1}\), 那么我们称 F 和 G 通过勒让德变换相关联.

局部上, 我们可以定义 DF 的反函数¹¹ V, 使得 \(DF \circ V = I\), 其中 I 是恒等函数 \(I(w) = w\). 考虑复合函数 \(\bar{F} = F \circ V\). \(\bar{F}\) 的导数是 \[ D\bar{F} = (DF \circ V) DV = I DV. \] 使用乘积法则和 DI = 1, \[ D\bar{F} = D(IV) - V, \] 或者 \[ V = D(IV) - D\bar{F} = D(IV - \bar{F}). \] 积分由一个积分常数决定. 如果我们定义 \[ G = IV - \bar{F}, \] 那么我们有 \[ V = DG. \] 函数 G 具有所需的性质, 即 DG 是 DF 的反函数 V. 如果 F 和 G 的参数具有多个分量, 上述推导同样适用.

给定关系 \(w = DF(v)\) 对于某个给定的函数 F, 那么 \(v = DG(w)\), 对于 \(G = IV - F \circ V\), 其中 V 是 DF 的反函数, 前提是它存在.

图示说明: 图 3.1 显示了函数 DF 的图形. 从 v₀ 到 v 的曲线下的面积是 F(v) - F(v₀). 同样, 从 w₀ 到 w 的 DG 积分是 G(w) - G(w₀); 这是从 w₀ 到 w 的曲线左侧的面积. 这两个区域的并集面积为 wv - w₀v₀. 所以 \[ wv - w_0v_0 = F(v) - F(v_0) + G(w) - G(w_0), \] 这与 \[ wv - F(v) - G(w) = w_0v_0 - G(w_0) - F(v_0). \] 相同. 左侧取决于标记为 w 和 v 的点, 右侧取决于标记为 w₀ 和 v₀ 的点, 所以它们只能等于一个与端点无关的常数. 当点改变时, 组合 G(w)+F(v)-wv 是不变的. 所以 \[ G(w) = wv - F(v) + C, \]

设 F 是两个参数的实值函数, 且 \[ w = \partial_1 F(x, v). \] 如果我们能找到一个实值函数 G 使得 \[ v = \partial_1 G(x, w) \] 我们称 F 和 G 通过勒让德变换相关联, 并且每个函数中的第二个参数是主动的, 第一个参数在变换中是被动的.

如果函数 ∂₁F 可以关于第二个参数局部求逆, 我们可以定义 \[ v = V(x, w), \] 给出 \[ w = \partial_1 F(x, V(x, w)) = W(x, w), \] 其中 W = I₁ 是第二个参数的选择器函数. 对于主动参数, 推导过程如前所述. F 和 G 的第一个参数只是伴随过程, 它是一个被动参数. 令 \[ \bar{F}(x, w) = F(x, V(x, w)), \] 然后定义 \[ G = WV - \bar{F}. \] 我们可以通过求导来检验 G 是否具有性质 V = ∂₁G: \[ \partial_1 G = \partial_1 (WV - \bar{F}) \] \[ = V + W \partial_1 V - \partial_1 \bar{F}, \] 但是 \[ \partial_1 \bar{F}(x, w) = \partial_1 F(x, V(x, w)) \partial_1 V(x, w) \]

\[ = W(x, w) \partial_1 V(x, w), \] 或者 \[ \partial_1 \bar{F} = W \partial_1 V. \] 所以 \[ \partial_1 G = V, \] 符合要求. 主动参数可以有多个分量. 关于被动参数的偏导数以一种非常简单的方式关联起来. 让我们分步计算导数 ∂₀G. 首先, \[ \partial_0 (WV) = W \partial_0 V \] 因为 ∂₀W = 0. 要计算 ∂₀\bar{F}, 我们必须提供参数

将这些放在一起, 我们发现 \[ \partial_0 G(x, w) = -\partial_0 F(x, V(x, w)) = -\partial_0 F(x, v). \] 如果被动参数有多个分量, 计算过程不变. 我们可以更对称地写出勒让德变换:

最后一个关系并不像看起来那么平凡, 因为 x 进入了连接 w 和 v 的方程. 通过这种对称形式, 我们看到勒让德变换是其自身的逆变换.

对于以下每个函数, 找出与其通过在指定主动参数上的勒让德变换相关的函数. 证明勒让德变换关系对你的解成立, 包括被动参数之间的关系(如果有). a. \(F(x) = a \sin x + b \cos x\), 没有被动参数. b. \(F(x, y) = a \sin x \cos y\), x 是主动参数. c. \(F(x, y, \dot{x}, \dot{y}) = x\dot{x}^2 + 3\dot{x}y\dot{y} + y\dot{y}^2\), \(\dot{x}\) 和 \(\dot{y}\) 是主动参数.

我们可以使用勒让德变换, 让拉格朗日量扮演 F 的角色, 广义速度槽扮演主动参数的角色. 哈密顿量扮演 G 的角色, 动量槽是主动参数. 坐标和时间槽是被动参数. 拉格朗日量 L 和哈密顿量 H 通过勒让德变换相关联: \[ e = (\partial_2 L)(a, b, c) \] \[ ec = L(a, b, c) + H(a, b, e) \] 以及 \[ c = (\partial_2 H)(a, b, e), \] 带有被动方程

假设它存在, 我们可以定义关于最后一个参数的 ∂₂L 的逆 \[ c = V(a, b, e), \] 并写出哈密顿量 \[ H(a, b, c) = cV(a, b, c) - L(a, b, V(a, b, c)). \] 这些关系纯粹是代数性质的. 在路径 q 上, 我们有动量 p: \[ p(t) = \partial_2 L(t, q(t), Dq(t)), \]

根据 V 的定义 \[ Dq(t) = V(t, q(t), p(t)). \] 勒让德变换给出 \[ Dq(t) = \partial_2 H(t, q(t), p(t)). \] 这个关系纯粹是代数性的, 对任何路径都有效. 被动方程 (3.51) 给出 \[ \partial_1 L(t, q(t), Dq(t)) = -\partial_1 H(t, q(t), p(t)), \] 但是左侧可以用拉格朗日方程重写, 所以 \[ Dp(t) = -\partial_1 H(t, q(t), p(t)). \] 这个方程只对可实现路径有效, 因为我们使用了拉格朗日方程来推导它. 方程 (3.56) 和 (3.58) 是哈密顿方程. 剩下的被动方程是 \[ \partial_0 L(t, q(t), Dq(t)) = -\partial_0 H(t, q(t), p(t)). \] 我们发现如果拉格朗日量没有显式时间依赖性 (\(\partial_0 L = 0\)), 那么能量是守恒的. 这个被动方程表明, 如果拉格朗日量没有显式时间依赖性, 那么哈密顿量也不会有显式时间依赖性 (\(\partial_0 H = 0\)). 所以如果哈密顿量没有显式时间依赖性, 那么它就是一个守恒量.

使用哈密顿方程, 直接证明如果哈密顿量没有显式时间依赖性, 那么哈密顿量是一个守恒量.

我们通常无法实现勒让德变换, 因为它涉及到求任意函数的函数逆. 然而, 许多物理系统可以用在广义速度上是二次型的拉格朗日量来描述. 对于这样的函数, 广义动量是广义速度的线性函数, 因此可以显式求逆.

更一般地, 我们可以计算多项式函数的勒让德变换, 其中主项是二次型: \[ F(v) = \frac{1}{2} v M v + b v + c. \] 我们可以假设 M 是对称的, ¹² 因为它定义了一个二次型. 我们可以找到 w 的线性表达式 \[ w = DF(v) = vM + b. \] 所以如果 M 可逆, 我们可以解出 v 关于 w 的表达式. 因此我们可以定义一个函数 V 使得 \[ v = V(w) = M^{-1} (w - b) \] 我们可以用它来计算 G 的值: \[ G(w) = wV(w) - F(V(w)). \]

我们通过过程实现二次函数的勒让德变换: ¹³

(define (Legendre-transform F)
  (let ((w-of-v (D F)))
    (define (G w)
      (let ((z (dual-zero w)))
        (let ((M ((D w-of-v) z))
              (b (w-of-v z)))
          (let ((v (/ (- w b) M)))
            (- (* w v) (F v))))))
    G))

过程 Legendre-transform 接受一个单参数过程并返回通过勒让德变换与之关联的过程. 如果 \(w = DF(v)\), \(wv = F(v) + G(w)\), 且 \(v = DG(w)\) 指定了一个单参数勒让德变换,

考虑一个质量为 M, 半径为 R, 高度为 h 的均匀圆柱体, 安装成可以在垂直轴上自由旋转. 一个质量为 m 的质点被约束在一个均匀无摩擦的螺旋轨道上运动, 螺距为 β(单位: 弧度/米, 沿圆柱体下降), 安装在圆柱体表面(见图 3.2). 质点受到标准重力(\(g = 9.8 \text{ms}^{-2}\))的作用.

a. 这个系统有多少自由度? 选择并描述一套方便的广义坐标. 写出一个描述动力学行为的拉格朗日量. 知道圆柱体绕其轴的转动惯量是 \(\frac{1}{2}MR^2\) 可能有帮助. 如果将各种常数组合起来并表示为单个符号, 代数计算可能会更容易. b. 为系统构造一个哈密顿量. 写出系统的哈密顿方程. 是否存在任何守恒量? c. 如果我们在时间 t=0 时从轨道顶部以零初始速度释放质点, 让它滑下, 系统的运动是什么?

考虑一个质量为 m 的质点, 被约束在一个碗里运动, 并受到均匀引力加速度 g 的作用. 碗是椭球形的, 高度 \(z = ax^2 + by^2\). 为此系统构造一个哈密顿量. 你能对这个系统做出任何直接的推断吗?

前两次哈密顿方程的推导都利用了拉格朗日方程. 哈密顿方程也可以直接从作用量原理推导出来. 作用量是拉格朗日量沿路径的积分: \[ S[q](t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} L \circ \Gamma[q]. \] 作用量对于保持端点构型不变的路径变分是稳态的(对于依赖于时间, 坐标和速度的拉格朗日量). 我们可以用哈密顿量重写被积函数 \[ L \circ \Gamma[q](t) = p(t) Dq(t) - H(t, q(t), p(t)), \] 其中 \(p(t) = \partial_2 L(t, q(t), Dq(t))\). 勒让德变换的构造给出 \[ Dq(t) = \partial_2 H(t, q(t), p(t)), \] 这是哈密顿方程之一, 它不依赖于路径是否为可实现路径. 利用 \[ \Pi_L[q](t) = (t, q(t), \partial_2 L(t, q(t), Dq(t))) = (t, q(t), p(t)), \]

被积函数是 \[ L \circ \Gamma[q] = pDq - H \circ \Pi_L[q]. \] 作用量的变分是

其中 \(\delta p\) 是动量的变分. ¹⁴ 对第二项进行分部积分, 使用 \(D(p\delta q) = Dp\delta q + pD\delta q\), 我们得到

变分被约束使得 \(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\), 所以积分项消失. 作用量的变分是 \[ \delta S[q](t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} ((Dq - \partial_2 H \circ \Pi_L[q]) \delta p - (Dp + \partial_1 H \circ \Pi_L[q]) \delta q). \]

图 3.3 展示了拉格朗日和哈密顿描述动力学系统之间函数关系的概要. 该图显示了一个连接一些" 设备" 和" 导线" 的" 电路" . 设备代表关联其终端上量的数学函数. 导线代表它们连接的终端上量的标识. 例如, 有一个代表拉格朗日函数的盒子. 给定值 t, q 和 ˙q, 拉格朗日量 L(t, q, ˙q) 的值位于标记为 L 的终端上, 该终端连接到加法器的加数终端. 拉格朗日量还有其他终端, 承载拉格朗日函数偏导数的值.

图的上部总结了哈密顿量与拉格朗日量的关系. 例如, 拉格朗日量 L 和哈密顿量 H 终端上的值的和等于拉格朗日量 ˙q 终端上的值与哈密顿量 p 终端上的值的乘积. 这是勒让德变换的主动部分. 被动变量通过它们相应的偏导数互为负相关. 图的下部通过积分器的存在指示了运动, 将动力学量与其时间导数联系起来.

人们可以用这个图来帮助理解拉格朗日和哈密顿力学表述的潜在统一性. 拉格朗日方程仅仅是 ˙p 线与拉格朗日装置 ∂₁L 终端的连接. 哈密顿方程之一仅仅是 ˙p 线(通过取反装置)与哈密顿装置 ∂₁H 终端的连接. 另一个仅仅是 ˙q 线与哈密顿装置 ∂₂H 终端的连接. 我们看到这两种表述是一致的. 人们不必为了使用哈密顿表述而放弃拉格朗日表述的任何部分: 可以同时使用两者进行推导.

设 F, G 和 H 是时间, 位置和动量的函数, c 是与位置和动量无关的.

守恒量的泊松括号是守恒的. 设 F 和 G 是相空间状态空间上的时间无关函数: \(\partial_0 F = \partial_0 G = 0\). 如果 F 和 G 在 H 下的演化中是守恒的, 那么

所以 F 和 G 与 H 的泊松括号为零: \(\{F, H\} = \{G, H\} = 0\). 雅可比恒等式则意味着 \[ \{\{F, G\}, H\} = 0, \] 因此 \[ D(\{F, G\} \circ \sigma) = 0, \] 所以 \(\{F, G\}\) 是一个守恒量. 两个守恒量的泊松括号也是一个守恒量.

考虑质量为 m 的粒子在中心势中的运动. 反映对称性的自然广义坐标选择是极坐标. 拉格朗日量是(方程 1.67): \[ L(t; r, \phi; \dot{r}, \dot{\phi}) = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2) - V(r). \] 动量是 \(p_r = m\dot{r}\) 和 \(p_\phi = mr^2\dot{\phi}\). 动能是速度的齐次二次型, 所以哈密顿量是 T+V, 速度用动量重写: \[ H(t; r, \phi; p_r, p_\phi) = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\phi^2}{2mr^2} + V(r). \] 哈密顿方程是:

势能取决于到原点的距离 r, 动能也取决于极坐标, 但势能和动能都不取决于极角 φ. 角 φ 没有出现在拉格朗日量中, 所以我们知道共轭于 φ 的动量 \(p_\phi\) 在可实现轨迹上是守恒的. \(p_\phi\) 在可实现路径上是常数这一事实由哈密顿方程之一表达. \(p_\phi\) 具有恒定值这一事实立即在其他哈密顿方程中使用: 其余方程构成一个以 \(p_\phi\) 为常数的自洽子系统. 在拉格朗日表述中, 要使一个较低维度的子系统出现, 我们必须使用每个守恒动量来消除另一个状态变量, 就像我们对轴对称陀螺所做的那样(见 2.10 节).

我们可以用计算机检查我们的推导. 一个实现拉格朗日量的过程已经在(方程 1.67 下面)引入. 我们可以用它来得到哈密顿量:

(show-expression
 ((Lagrangian->Hamiltonian
   (L-central-polar 'm (literal-function 'V)))
  (up 't (up 'r 'phi) (down 'p_r 'p_phi))))

并推导哈密顿方程:

(show-expression
 (((Hamilton-equations
    (Lagrangian->Hamiltonian
     (L-central-polar 'm (literal-function 'V))))
   (up (literal-function 'r)
       (literal-function 'phi))
   (down (literal-function 'p_r)
         (literal-function 'p_phi)))
  't))

我们从哈密顿观点重新考虑轴对称陀螺(见 2.10 节). 回想一下, 陀螺是一个旋转的刚体,

验证陀螺可以睡眠的临界角速度由方程 (3.100) 给出.

假设存在循环坐标. 在哈密顿表述中, 其他自由度的坐标和动量的运动方程构成一个自洽的子系统, 其中与循环坐标共轭的动量是参数. 我们可以通过对约化的哈密顿量进行勒让德变换来为此子系统构造一个拉格朗日量. 或者, 我们可以从完整的拉格朗日量开始, 只对那些是循环的坐标进行勒让德变换. 运动方程对于已变换的变量是哈密顿方程, 对于其他变量是拉格朗日方程. 与循环坐标共轭的动量是守恒的, 可以作为参数处理到剩余坐标的拉格朗日量中.

将坐标元组 q 分成两个子元组 q = (x, y). 假设 L(t; x, y; vx, vy) 是系统的拉格朗日量. 定义 Routhian R 为 L 关于 vy 槽的勒让德变换:

要定义函数 R, 我们必须解方程 (3.101) 得到 vy 关于其他变量的表达式, 并将其代入方程 (3.102). 定义状态路径 Ξ \[ \Xi(t) = (t; x(t), y(t); Dx(t), p_y(t)), \] 其中 \[ p_y(t) = \partial_{2,1} L(t; x(t), y(t); Dx(t), Dy(t)). \] 可实现路径满足运动方程

它们分别是 x 的拉格朗日方程以及 y 和 py 的哈密顿方程. 现在假设拉格朗日量在 y 中是循环的. 那么 \(\partial_{1,1} L = \partial_{1,1} R = 0\), 并且 \(p_y(t)\) 在任何可实现路径上是常数 c. 方程 (3.109) 不依赖于 y(根据假设), 我们可以用常数值 c 替换 py. 因此方程 (3.109) 构成 x 路径的一个封闭子系统. 拉格朗日量 Lc \[ L_c(t, x, v_x) = -R(t; x, \bullet; v_x, c). \] 描述子系统的运动. 引入负号是为了方便. 路径 y 可以通过积分方程 (3.110), 使用独立确定的路径 x 来找到. 定义作用量 \[ S^c[x](t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} L_c \circ \Gamma[x]. \]

可实现路径 x 满足拉格朗日量为 Lc 的拉格朗日方程, 所以作用量 Sᶜ 对于在端点处为零的 x 的变分 ξ 是稳态的: \[ \delta_\xi S^c(t_1, t_2) = 0. \] 对于可实现路径 q, 作用量 S[q](t₁, t₂) 对于在端点处为零的 q 的变分 η 是稳态的. 沿着这些路径, 动量 \(p_y(t)\) 具有常数值 c. 对于同样这些路径, 作用量 Sᶜ[x](t₁, t₂) 对于在端点处为零的 x 的变分 ξ 是稳态的. ξ 的维数小于 η 的维数. 作用量 Sᶜ[x](t₁, t₂) 和 S[q](t₁, t₂) 的值相关:

验证运动方程由方程 (3.109) 到 (3.111) 给出.

我们熟悉这样一个事实: 系统的给定运动在不同的坐标系中表达方式不同: 用直角坐标表达运动的函数不同于用极坐标表达相同运动的函数. 然而, 对于给定的坐标系, 特定初始条件的局域状态元组的演化是唯一的. 广义速度路径函数是广义坐标路径函数的导数. 另一方面, 坐标系本身并不能唯一地指定相空间描述. 动量与坐标和速度的关系取决于拉格朗日量, 而描述同一物理系统行为可能使用许多不同的拉格朗日量. 当同一物理系统的两个拉格朗日量不同时, 相空间描述一个动力学状态也不同.

我们已经看到了驱动摆的两个不同的拉格朗日量(见 1.6.2 节). 一个是使用 \(L = T - V\) 找到的,

另一个是通过检查运动方程找到的. 这两个拉格朗日量相差一个全时间导数. 与 θ 共轭的动量 pθ 取决于我们选择哪个拉格朗日量, 并且相应相空间中的演化描述也取决于拉格朗日量的选择, 即使系统的行为与描述它的方法无关. 使用 \(L=T-V\) 拉格朗日量, 与 θ 共轭的动量是 \[ p_\theta = ml^2 \dot{\theta} - alm\omega \sin\theta \sin\omega t \] 而使用备用拉格朗日量, 与 θ 共轭的动量是 \[ p'_\theta = ml^2 \dot{\theta}. \] 这两个动量相差一个周期性变化且依赖于 θ 的附加畸变. 相空间描述不同如图 3.10 所示. 系统的演化对两者都是相同的.

对于周期驱动系统, 截面是演化的频闪视图; 我们只考虑系统在频闪时刻的状态, 频闪周期等于驱动周期. 我们通过计算多个轨迹并累积每个轨迹在驱动经过某个特定相位时的相空间坐标来生成周期驱动系统的截面. 设 T 是驱动的周期, 那么对于每个轨迹, 截面积累相空间点 \((q(t), p(t))\), \((q(t+T), p(t+T))\), \((q(t+2T), p(t+2T))\) 等等(见图 3.11). 对于一个系统

我们已经有了摆的系统导数, 我们可以用它来构造一个参数映射, 用于构造庞加莱截面.

(define (driven-pendulum-map m l g A omega)
  (let ((advance (state-advancer H-pend-sysder m l g A omega))
        (map-period (/ 2pi omega)))
    (lambda (theta ptheta return fail)
      (let ((ns (advance
                 (up 0 theta ptheta)     ; initial state
                 map-period)))           ; integration interval
        (return ((principal-value pi) (coordinate ns))
                (momentum ns))))))

映射过程接受两个截面坐标(这里是 theta 和 ptheta)和两个" 继续" 过程. 如果给定的截面坐标在映射的定义域内, 它会产生两个新的截面坐标并将它们传递给 return 继续过程, 否则映射过程调用 fail 继续过程, 不带参数. ²⁸

映射的轨迹可以通过" 交互式" 界面进行探索. 过程 explore-map 允许我们使用指向设备选择轨迹的初始条件. 例如, 图 3.12 中的截面是通过绘制多个轨迹生成的, 使用指针选择初始条件, 程序如下:

(define win (frame -pi pi -20 20))
(let ((m 1.0)              ;m=1kg
      (l 1.0)              ;l=1m
      (g 9.8)             ;g=9.8m/s^2
      (A 0.05))            ;A=1/20m
  (let ((omega0 (sqrt (/ g l))))
    (let ((omega (* 4.2 omega0)))
      (explore-map
       win
       (driven-pendulum-map m l g A omega)
       1000))))           ;1000 points for each ic

选择一个你好奇并且可以用周期驱动驱动的单自由度动力学系统. 构造一个像我们为驱动摆制作的那种映射, 并进行一些探索. 是否存在混沌区域? 所有的混沌区域都连接在一起吗?

我们已经说明了使用庞加莱截面来可视化具有周期驱动的单自由度系统的相空间定性特征, 但这个想法更具普遍性. 这里我们展示 Hénon 和 Heiles 如何使用截面来阐明自治系统的性质.

在 60 年代初, 天文学家遇到了困难. 对银河系附近恒星运动的仔细测量使得能够确定某些特定的统计平均值, 而这些平均值完全出乎意料. 具体来说, 计算的是速度弥散: 速度与平均值的均方根偏差. 我们用尖括号表示附近恒星的平均值: \( \langle w \rangle \) 是某个量 w 对星群的平均值. 平均速度是 \( \langle \dot{\mathbf{x}} \rangle \). 速度弥散的分量是

如果我们使用柱极坐标 \((r, \theta, z)\) 并将坐标轴与银河系对齐, 使 z 垂直于银道面, r 随距银河系中心的距离增加, 那么速度弥散的两个特定分量是:

当时的预期是这两个速度弥散分量应该相等. 事实上, 发现它们相差约 2 倍: \(\sigma_r \approx 2\sigma_z\). 问题出在哪里? 当时的文献中对于可能出错的地方有很多讨论. 是观测选择效应的问题吗? 速度测量不正确吗? 用于推导预期比率的假设没有得到充分满足吗? 例如, 推导假设银河系近似轴对称. 也许银河势的非轴对称分量是罪魁祸首. 结果发现问题要深刻得多. 对运动的理解是错误的. 让我们回顾一下预期关系推导. 我们希望对银河系中恒星的分布给出一个统计描述. 我们引入相空间分布函数 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{p})\), 它给出了在位置 \(\mathbf{x}\) 处找到动量为 \(\mathbf{p}\) 的恒星的概率密度. ²⁹ 将此密度在某个有限的相空间体积上积分, 得到在该相空间体积内(在指定动量区域内的空间区域中)找到恒星的概率. 我们假设概率密度是归一化的, 因此在整个相空间上的积分给出单位概率; 恒星肯定在某个地方并且具有某个动量. 用 f 表示, 某个动力学量 w 在某个相空间体积 V 上的统计平均值就是 \[ \langle w \rangle_V = \int_V fw \] 其中积分遍及相空间体积 V. 在计算某个点 \(\mathbf{x}\) 处速度弥散时, 我们将通过对所有动量进行积分来计算平均值.

单个恒星在星系其余部分的引力势中运动. 假设星系中恒星的整体分布不随时间变化, 或变化非常缓慢, 这是合理的. 星系中恒星的密度实际上非常小, 恒星之间的近距离接触非常罕见. 因此, 我们可以将星系的引力势建模为固定的外部势, 单个恒星在其中运动. 银河系近似轴对称. 我们假设偏离精确轴对称性的影响不显著, 因此我们将模型势取为精确轴对称. 考虑一个点质量(恒星)在轴对称势(银河系)中的运动. 在柱极坐标中, 哈密顿量是 \[ T + V = \frac{1}{2m} \left( p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + p_z^2 \right) + V(r, z), \] 其中 V 不依赖于 θ. 由于 θ 没有出现, 我们知道共轭动量 \(p_\theta\) 是常数. 对于任何特定恒星的运动, 我们可以将 \(p_\theta\) 视为参数. 因此, 有效哈密顿量具有两个自由度 \[ \frac{1}{2m} \left( p_r^2 + p_z^2 \right) + U(r, z) \] 其中 \[ U(r, z) = V(r, z) + \frac{p_\theta^2}{2mr^2}. \] 哈密顿量是时间无关的, 所以能量 E 的值是守恒的. 因此, 我们有运动常数 E 和 \(p_\theta\).

Jeans 定理断言分布函数 f 只依赖于运动积分的值. 也就是说, 我们可以引入一个不同的分布函数 \(f'\), 它代表相同的物理分布 \[ f'(E, p_\theta) = f(\mathbf{x}, \dot{\mathbf{x}}). \] 有充分的理由相信这可能是正确的. 首先, 很明显分布函数至少肯定依赖于 E 和 \(p_\theta\). 问题是" 给定能量 E 和角动量 \(p_\theta\), 允许什么样的运动? " 积分明确地限制了演化. 演化是否会将系统带到受这些已知约束限制的相空间中的任何地方? 在 20 世纪初, 这似乎是合理的. 统计力学是成功的, 而统计力学正是做了这样的假设. 也许还存在其他运动积分, 但我们尚未发现? 庞加莱证明了一个关于运动积分的重要定理. 庞加莱证明了动力学系统的大多数积分通常在系统受到微扰时不会持续存在. 也就是说, 如果对一个问题添加一个小的微扰, 那么原始问题的大多数积分在受扰问题中没有类似物. 积分被破坏了. 当然, 由系统对称性产生的积分, 如果受扰系统具有相同的对称性, 则继续保持守恒. 因此, 角动量在施加任何轴对称微扰时继续守恒. 庞加莱定理是正确的, 但接下来的结论不是. 作为庞加莱定理的一个推论, 费米在 1920 年发表了一个遍历定理的证明,

我们已经看到, 研究点质量在轴对称势能中的运动简化为研究在 r 和 z 中具有势能 U(r, z) 的约化二自由度问题. Hénon 和 Heiles 选择研究一个

我们已经看到, 轴对称陀螺的运动基本上可以求解. 倾斜角变化率对倾斜角的图是一个简单的闭合曲线. 其他描述构型的角度的演化可以通过求积得到, 一旦倾斜运动被求解. 现在让我们考虑一个非轴对称陀螺. 非轴对称陀螺是具有三个不等惯量矩的陀螺. 枢轴不在质心处, 因此均匀引力施加扭矩. 我们假设枢轴和质心之间的连线是主轴之一, 我们将其设为 ˆc. 垂直轴没有扭矩, 因此角动量的垂直分量是守恒的. 如果我们用欧拉角写出哈密顿量, 则对应于绕垂直轴旋转的角度 φ 不出现. 因此与此角度共轭的动量

是守恒的. 非平凡的自由度是 θ 和 ψ, 以及它们的共轭动量.

我们可以为此问题制作一个截面(见图 3.22), 方法是在 ψ=0 时显示 pθ 对 θ 的值. 对于给定的能量和 pφ 值, 通常存在两个可能的 pψ 值. 我们只绘制在穿越时 pψ 值较大的点. 这使得截面上的点唯一对应于一条轨迹.

在这个截面中, 有一个大的准周期岛屿, 围绕着一个不动点, 该不动点对应于清醒轴对称陀螺的倾斜平衡点(见图 3.7). 围绕它的是一个大的混沌区, 从 θ=0 延伸到接近 π 的角度. 如果这个陀螺最初放置在接近垂直的位置, 它会表现出混沌运动, 使其倾斜到很大的角度. 如果陀螺在准周期岛内启动, 则倾斜是稳定的.

考虑由哈密顿量描述的无驱动摆: \[ H(t, \theta, p_\theta) = \frac{p_\theta^2}{2l^2 m} + glm \cos\theta. \] 在图 3.25 中, 我们看到一个围绕 θ 轴上一点的椭圆区域在摆的振荡区域内的演化. 图中显示了该区域的三个后续位置. 该区域被流拉伸和剪切, 但面积保持不变. 经过许多周期后, 起始区域将被拉伸成分布在摆相角上的薄层. 图 3.26 显示了跨越不稳定平衡点附近分界线³³的区域的类似演化(对于较小的时间间隔). 相空间区域沿着分界线迅速拉伸, 同时保持面积. 从振荡区域(分界线内部)开始的初始条件将继续扩展成薄环形区域, 而从分界线外部开始的初始条件将扩展成旋转的薄区域.

考虑一组形式为 \[ Dz(t) = F(t, z(t)), \] 的常微分方程, 其中 z 是 N 个状态变量的元组. 设 R(t₁) 是时间 t₁ 时状态空间的一个区域. 该区域的每个元素都是系统的初始

证明方程 (3.148) 是正确的.

对于周期驱动的哈密顿系统, 如果截面坐标是相空间坐标和动量, 则截面是保面积的. 这是截面的一个重要特征. 它是一自由度问题刘维尔定理的一个推论. 对于 Hénon-Heiles 问题的截面, 情况也是如此, 它们是保面积的, 但我们现在还没准备好证明这一点!

刘维尔定理有一个显著的定理作为其平凡推论–庞加莱复现定理. 粗略地说, 该定理指出几乎所有轨迹最终都会任意接近其起点. 无论轨迹是混沌的还是规则的, 这都成立.

更精确地说, 考虑一个相空间是有界域 D 的哈密顿动力学系统. 我们确定相空间中的某个初始点, 比如 z₀. 那么, 对于我们选择的 z₀ 的任何有限邻域 U, 都存在从该邻域中的初始点出发并最终返回该邻域的轨迹.

我们可以通过考虑 U 在时间演化下的连续像来证明这一点. 为简单起见, 我们限制考虑时间间隔 Δ 的时间演化. 时间间隔 Δ 的演化生成的相空间到自身的映射我们称为 C. 映射的后续应用生成离散时间演化. 相空间中点集的变换通过演化集合中的所有点; 集合 U 的像是 C(U). 现在考虑集合 U 的轨迹, 即集合 \(C^n(U)\), 其中 \(C^n\) 表示 C 的 n 次复合. 现在有两种可能性: 要么连续的像 \(C^i(U)\) 相交, 要么不相交. 如果不相交, 那么每次迭代都会" 用掉" D 中等于 U 体积的体积, 并且不能属于更远的像. 但是 D 的体积是有限的, 所以我们不能在其中放入无限多个不相交的有限体积. 因此, 经过一定次数的迭代后, 这些像必须相交. 假设, 为了确定起见, \(C^i(U)\) 与 \(C^j(U)\) 相交, 其中 j < i. 那么它们各自的原像也必须相交, 因为交点中点的原像属于两个集合. 因此 \(C^{i-1}(U)\) 与 \(C^{j-1}(U)\) 相交. 这可以继续下去, 直到最后我们得到 \(C^{i-j}(U)\) 与 U 相交. 所以我们证明了经过 C 的 i-j 次迭代后, 存在一组最初在 U 中的点返回到邻域 U.

假设我们有一个完全密封的房间里 N 个经典原子的集合. 这个系统的相空间维数是 6N. 这个相空间中的一个点表示为 z. 假设最初所有的原子都在, 比如说, 一个角落的一厘米范围内, 具有任意选择的有限速度. 这对应于相空间中的某个初始点 z₀. 系统的相空间在空间上受盒子限制, 在动量上受能量守恒限制; 相空间是有界的. 那么复现定理表明, 在 z₀ 的邻域内存在系统的初始条件, 它会在某个时间后返回到 z₀ 的邻域. 对于单个原子来说, 这意味着在某个时间后, 所有的原子将再次出现在房间的角落里, 并且一次又一次地出现. 这让人对热力学第二定律产生疑问, 不是吗? ³⁴

一些系统具有吸引子. 吸引子是相空间中吞噬轨迹体积的一个区域. 对于一个吸引子, 存在一个更大的区域, 即吸引盆, 使得具有非零体积的轨迹集合最终进入吸引子并且永不离开. 复现定理表明, 具有有界相空间的哈密顿系统没有吸引子. 考虑吸引盆中的某个候选体积. 复现定理保证候选体积中的一些轨迹会重复返回该体积. 因此, 该体积不在吸引盆中. 在具有有界相空间的哈密顿系统中不存在吸引子.

这并不意味着每个轨迹总是返回. 一个简单的例子是摆. 假设我们取一团跨越分界线的轨迹, 即渐近接近摆指向上方的不稳定平衡点的轨迹. 能量比分界线高的轨迹会绕一整圈并返回其初始点; 能量比分界线低的轨迹会振荡一次来回并回到其初始位置; 但分界线轨迹本身永久地离开初始区域, 并持续接近不稳定点.

耗散系统的定义并不那么清晰. 对某些人来说, " 耗散" 意味着相空间体积不守恒, 这与说系统的演化不由哈密顿方程控制是相同的. 对另一些人来说, " 耗散" 意味着存在摩擦: 代表能量损失到未建模的自由度. 这里有一个奇怪的例子. 阻尼谐振子是耗散系统的典范. 这里我们证明阻尼谐振子可以用哈密顿方程描述, 并且相空间体积是守恒的. 阻尼谐振子由常微分方程控制 \[ mD^2 x + \alpha Dx + kx = 0 \]

其中 α 是阻尼系数. 我们可以用拉格朗日量³⁵来表述这个系统 \[ L(t, x, \dot{x}) = \left(\frac{m}{2}\dot{x}^2 - \frac{k}{2}x^2\right) e^{\frac{\alpha}{m}t}. \] 这个拉格朗日量的拉格朗日方程是 \[ (mD^2 x + \alpha Dx + kx) e^{\frac{\alpha}{m}t} = 0. \] 由于指数项永不为零, 这个方程与上面的方程 (3.155) 具有相同的轨迹. 与 x 共轭的动量是 \[ p = m\dot{x} e^{\frac{\alpha}{m}t}, \] 哈密顿量是 \[ H(t, x, p) = \left(\frac{1}{2m} p^2\right) e^{-\frac{\alpha}{m}t} + \left(\frac{k}{2} x^2\right) e^{\frac{\alpha}{m}t}. \] 对于这个系统, 哈密顿量不是弹簧中质量运动的动能和势能之和. 哈密顿量的值不守恒 (\(\partial_0 H \neq 0\)). 哈密顿方程是

让我们考虑一个数值例子. 设 m=5, k=1/4, α=3. 这里线性常系数常微分方程 (3.155) 的特征根是 s = -1/10, -1/2. 因此解是 \[ \begin{pmatrix} x(t) \\ p(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-\frac{1}{10}t} & e^{-\frac{1}{2}t} \\ -\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}t} & -\frac{5}{2}e^{-\frac{1}{10}t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix}, \] 对于由初始条件决定的 A₁ 和 A₂: \[ \begin{pmatrix} x(0) \\ p(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix}. \]

为了更具体地说明刘维尔定理对时变系统也成立, 扩展 3.8 节的结果, 展示一个初始点群在驱动摆相空间中勾勒出的区域如何随其演化而变形. 构造类似于图 3.25 和 3.26 的图, 用于我们有截面的有趣情况之一. 相空间不同部分的畸变看起来是否不同? 如何不同?

我们只近似地知道一个系统的状态. 用概率密度函数来模拟我们的知识状态是合理的. 给定这种不完全的知识, 可能的后果是什么? 随着系统的演化, 密度函数也随之演化. 刘维尔定理为我们处理这类问题提供了一个工具. 设 f(t, q, p) 是时间 t 时相空间上的概率密度函数. 要成为一个好的概率密度函数, 我们要求 f 在所有坐标和动量上的积分为 1–系统肯定在某个地方.

在任何特定时刻, 相空间的特定区域都有一组轨迹穿过. 这些轨迹既不被创造也不被毁灭, 它们作为一个束从一个区域行进到稍后时间的另一个相空间区域. 刘维尔定理告诉我们源区域的体积与目标区域的体积相同, 所以密度必须保持不变. 因此 \(D(f \circ \sigma) = 0\). 如果我们有一个由哈密顿量 H 描述的系统, 那么 \[ D(f \circ \sigma) = \partial_0 f \circ \sigma + \{f, H\} \circ \sigma. \] 所以我们可以得出结论 \[ \partial_0 f \circ \sigma + \{f, H\} \circ \sigma = 0. \] 这个线性偏微分方程控制着密度函数的演化, 从而显示了我们的知识状态如何演化.

考虑由以下方程定义的平面映射:

a. 证明该映射保持面积. b. 将该映射实现为一个过程. 有趣的 x 和 y 范围是 (-1, 1). 会存在逃逸的轨道. 你应该检查逃逸出这个范围的 x 和 y 值, 并在发生这种情况时调用 fail 继续. c. 探索该映射对于几个参数 α 值的相图. 该映射在 α = 1.32 和 α = 1.2 时特别有趣. 两者之间发生了什么?

使用截面方法探索驱动摆的动力学. 我们感兴趣的是探索各种现象发生的参数空间区域. 考虑一个摆长 9.8m, 质量 1kg, 重力加速度 \(g = 9.8 \text{ms}^{-2}\), 给出 \(\omega_0 = 1 \text{rad/s}\). 探索周期驱动的振幅 A 和频率 ω 的参数平面. 要研究的现象示例: a. 倒置平衡点. 显示倒置平衡点稳定的参数空间 (A, ω) 区域. 如果倒置平衡点稳定, 则存在一定的稳定性范围, 即存在一个最大的平衡点位移角度, 稳定振荡能够达到. 如果你有足够的时间, 绘制参数空间中不同稳定区域振幅的等高线. b. 正常平衡点的周期倍增. 对于这种情况, 绘制稳定和不稳定平衡点的角动量作为给定振幅下频率的函数. c. 向大尺度混沌的过渡. 显示参数空间 (A, ω) 的区域, 其中三个主要共振岛周围的混沌区域相连.

编写一个程序来计算自旋-轨道问题的截面, 截面点在近心点处记录. 研究以下内容: a. 给出 2.11.2 节中引入的自旋-轨道问题的哈密顿表述. b. 对于外圆度参数 \(\epsilon = 0.1\) 和偏心率 \(e = 0.1\), 测量与 1:1, 3:2 和 1:2 共振相关的规则岛屿的宽度. c. 对于固定的 \(e = 0.1\), 探索一系列 \(\epsilon\) 值的截面. 估计临界值 \(\epsilon\), 当其超过该值时, 围绕 3:2 和 1:1 共振岛的主要混沌区域合并. d. 对于固定的偏心率 \(e = 0.1\), 追踪与 1:1 共振相关的稳定和不稳定不动点在截面上的位置, 作为外圆度 \(\epsilon\) 的函数.

现在考虑周期驱动摆, 但驱动幅度为零. 驱动摆的状态由角度坐标, 其共轭动量和周期驱动的相位指定. 在零驱动幅度下, " 驱动" 摆的演化与无驱动摆相同. 驱动的相位不影响演化, 但我们将驱动的相位视为状态的一部分, 以便我们可以给出一个统一的描述, 允许我们将零驱动幅度情况与非零驱动幅度情况包括在内.

对于驱动摆, 我们制作频闪截面, 通过在驱动周期采样状态, 并绘制角动量对角度(见图 4.2). 对于零驱动幅度, 截面点被限制在无驱动摆轨迹所描绘的曲线上. 对于我们在单自由度问题中看到的每种轨道, 都存在驱动摆的轨道, 在截面上生成相应的点模式.

摆的两个静止轨道在其平衡点处表现为截面上的点. 平衡点是庞加莱映射的不动点.

摆的振荡轨道的截面点落在哈密顿量的相应等值线上. 摆的循环轨道的截面点同样被限制在哈密顿量的相应等值线上. 我们注意到, 由不同等值线上的轨道生成的点的外观是不同的. 通常, 如果我们收集更多截面上的点, 这些点最终会填满等值线. 然而, 实际上存在两种可能性. 记住, 摆的周期对于不同的轨迹是不同的. 如果摆的周期与驱动的周期成公比, 那么截面上只会出​​现有限数量的点. 如果两个周期成公比, 即一个是另一个的有理数倍. 如果两个周期不成公比, 那么截面点永远不会重复. 事实上, 这些点会密集地填充等值线, 任意接近等值线上的每个点.

摆的渐近轨迹的截面点落在包含鞍点的哈密顿量等值线上. 每个渐近轨道生成一系列累积在不动点附近的孤立点. 没有单个轨道填充截面上的分界线.

现在考虑小驱动幅度时的截面(见图 4.3). 驱动幅度为 A = 0.001m; 驱动频率为 4.2ω₀, 其中 \( \omega_0 = \sqrt{g/l} \). 截面的整体外观与零驱动幅度截面相似. 许多轨道似乎位于与零驱动情况下的不变曲线类似的不变曲线上. 然而, 存在几个新特征.

现在存在对应于摆与驱动同步旋转的共振区域. 这些特征出现在截面的上部和下部循环区域. 每个岛都有一个不动点, 对于该不动点, 摆正好每个驱动周期旋转一次. 一般来说, 截面上的不动点对应于完整相空间中系统的周期运动. 不动点位于 ±π 处, 表明摆在截面相位处是垂直的. 对于远离不动点的共振区域中的轨道, 截面上的点显然生成围绕不动点的曲线

首先考虑微分方程组不动点的情况. 如果系统最初处于平衡点, 系统将保持在那里. 那么系统在这样一个平衡点附近的点的演化情况如何呢? 这实际上

是一个非常困难的问题, 尚未完全解决. 然而, 我们可以通过研究平衡点附近微分方程的线性近似的演化来了解很多关于系统在平衡点附近的运动. 这部分很容易, 是线性稳定性分析的主题. 稍后, 我们将讨论线性分析对实际问题的意义. 考虑一个常微分方程组 \[ Dz(t) = F(t, z(t)), \] 其分量为 \[ Dz^i(t) = F^i(t, z^1(t), \dots, z^n(t)) \] 其中 n 是状态空间的维数. 该方程组的平衡点 \(z_e\) 是状态导数为零的点: \[ 0 = F(t, z_e). \] 对于平衡解, 这在所有时刻都为零, 意味着 \(\partial_0 F(t, z_e) = 0\). 接下来考虑一条靠近平衡点的状态路径 z'. 路径位移 ζ 定义为在时间 t 时 \[ z'(t) = z_e + \zeta(t). \] 我们有 \[ D\zeta(t) = Dz'(t) = F(t, z_e + \zeta(t)). \] 如果 ζ 很小, 我们可以将右侧写成 ζ 的泰勒级数: \[ D\zeta(t) = F(t, z_e) + \partial_1 F(t, z_e) \zeta(t) + \dots, \] 但第一项为零, 因为 \(z_e\) 是平衡点, 所以 \[ D\zeta(t) = \partial_1 F(t, z_e) \zeta(t) + \dots. \]

如果 ζ 很小, 演化由线性项近似. 线性稳定性分析研究近似方程的演化 \[ D\zeta(t) = \partial_1 F(t, z_e) \zeta(t). \] 这些是变分方程 (3.140), 其中平衡解作为参考轨迹代入. 线性化系统解与完整系统解的关系是一个困难的数学问题, 尚未完全解决.

如果我们限制关注自治系统 (\(\partial_0 F = 0\)), 那么平衡点处的变分方程是具有常系数的线性常微分方程组. ² 这样的系统可以解析求解. 为了简化记法, 令 \(M = \partial_1 F(t, z_e)\), 所以 \[ D\zeta(t) = M \zeta(t). \] 我们寻找形式为 \[ \zeta(t) = \alpha e^{\lambda t}, \] 的解, 其中 α 是与 ζ 具有相同分量数的结构常数. 代入, 我们发现 \[ \lambda \alpha e^{\lambda t} = M \alpha e^{\lambda t}. \] 指数因子非零, 所以我们发现 \[ M \alpha = \lambda \alpha, \] 这是一个关于特征值 λ 和(归一化)特征向量 α 的方程. 一般来说, 存在 n 个特征值和 n 个特征向量, 所以我们必须在 α 和 λ 上添加下标以指示特定的解. 一般解是这些单个解的任意线性组合. 特征值是特征方程的解 \[ 0 = \det(M - \lambda I) \]

找出摆的两个平衡点(\( \theta = 0 \) 和 \( \theta = \pi \), 两者都 \( p_\theta = 0 \))的特征解的细节. 小幅度振荡频率与特征值有何关系? 特征方向与哈密顿量的等高线有何关系?

截面上的不动点对应于系统的平衡点或周期运动. 不动点的线性稳定性分析类似于平衡点的线性稳定性分析.

设 T 是状态空间到自身的映射, 可能由截面生成. 轨迹序列由映射 T 的连续迭代生成. 设 x(n) 是序列的第 n 个点. 映射将轨迹序列的一个点带到下一个点: \(x(n+1) = T(x(n))\). 我们可以用上标表示映射的连续迭代: 所以 \(T^i\) 表示 T 复合 i 次. 例如, \(T^2(x) = T(T(x))\). 因此 \(x(n) = T^n(x(0))\). ⁴ 映射 T 的不动点 x₀ 满足 \[ x_0 = T(x_0). \] 设 x 是初始靠近 x₀ 的某个轨迹, ξ 是与 x₀ 的偏差: \(x(n) = x_0 + \xi(n)\). 轨迹满足 \[ x_0 + \xi(n+1) = T(x_0 + \xi(n)). \] 将右侧展开为泰勒级数, 我们得到 \[ x_0 + \xi(n+1) = T(x_0) + DT(x_0) \xi(n) + \dots, \]

证明当 A=0 时, \(\xi_a\) 和 \(\xi_b\) 的任意线性组合描绘出一个椭圆.

标准映射(见 3.9 节)在 I=0 处有不动点, 对应 \(\theta=0\) 和 \(\theta=\pi\). 求这两个不动点的完整特征解. 对于参数 K 的哪些范围, 不动点是线性稳定或不稳定的?

对于由流的频闪采样生成的映射, 平衡点是不动点. 流的平衡点的特征解和映射在不动点处的特征解则相关. 设 τ 为采样周期. 那么 \(\rho_i = e^{\lambda_i \tau}\).

李雅普诺夫指数是衡量邻近轨迹与参考轨迹指数发散速率的指标. 如果参考轨迹是流的平衡点, 那么李雅普诺夫指数是线性化特征指数 \(\lambda_i\) 的实部. 如果参考轨迹是由流生成的映射的不动点(要么是周期轨道, 要么是平衡点), 那么李雅普诺夫指数是特征乘子对数实部除以映射周期. 所以如果特征乘子是 \(\rho = e^{A+iB}\), 映射周期是 τ, 那么李雅普诺夫指数是 A/τ. 不动点的正李雅普诺夫指数表示不动点的线性不稳定性.

李雅普诺夫指数比特征乘子或指数包含的信息要少, 因为虚部丢失了. 然而, 李雅普诺夫指数更具普遍适用性, 因为它甚至对于非周期性的参考轨迹也有明确定义.

在不动点的线性分析中, 每个特征指数对应一个可能的线性解子空间. 例如, 对于一个实的特征乘子, 存在一个对应的特征方向, 对于沿此方向的任何初始位移, 后续迭代也沿此方向. 复共轭乘子对对应一个解平面. 对于最初在此平面上的位移, 后续迭代也在此平面上.

事实证明, 对于非不动点的参考轨迹附近的线性化解, 情况也类似. 对于每个非零李雅普诺夫指数, 存在一个扭转子空间, 使得对于该子空间中的初始位移, 后续迭代也属于该子空间. 在参考轨迹上的不同点, 表征该子空间方向的单位位移向量是不同的.

对于哈密顿系统, 特征值之间存在额外的约束. 首先考虑二维截面的情况. 我们已经看到哈密顿截面是保面积的. 正如我们在刘维尔定理的证明中看到的, 保面积意味着变换导数的行列式为 1. 在不动点 x₀ 处, 线性化映射是 \(\xi(n+1) = DT(x_0) \xi(n)\). 所以 \(M = DT(x_0)\) 的行列式为 1. 现在行列式是特征值的乘积, 所以对于哈密顿截面上的不动点, 两个特征值必须互为倒数. 我们还有约束

即如果一个特征值是复数, 那么它的复共轭也是特征值. 这两个条件意味着特征值必须要么是实数且互为倒数, 要么是位于单位圆上的复共轭对(见图 4.4).

特征乘子都位于单位圆上的不动点称为椭圆不动点. 线性化变分方程的解围绕不动点描绘椭圆. 椭圆不动点是线性稳定的.

具有正实特征乘子的不动点称为双曲不动点. 对于二维映射, 存在一个指数扩张子空间和一个指数收缩子空间. 一般解是它们的线性组合. 特征乘子为负的不动点称为带反射的双曲点.

两个退化特征乘子的边缘情况称为抛物线型. 对于两个退化特征值, 一般解线性增长. 这发生在椭圆点变为双曲点或反之的分岔点.

对于二维哈密顿映射, 这些是唯一可能性. 对于更高维的哈密顿映射, 我们可以得到它们的组合: 一些特征乘子可以是实的, 另一些可以是复共轭对. 我们可能想象此外, 在更高维度中还会出现许多其他类型的不动点. 事实上, 只存在一种额外的类型, 如图 4.5 所示. 对于任意维度的哈密顿系统, 仍然成立的是, 对于每个特征值, 其复共轭和倒数也是特征值. 我们从将在第 5 章证明的一个结果开始证明这一点. 考虑由哈密顿系统的时间演化生成的相空间到自身的映射. 设 z=(q,p), 那么映射 Tβ 满足 \(z(t+\beta) = T_\beta(z(t))\), 对于哈密顿方程的解 z. 我们将在第 5 章中证明映射 Tβ 的导数是辛的, 无论起点是否为不动点. 一个 2n × 2n 矩阵 M 是辛的, 如果它满足 \[ MJM^T = J, \] 其中 J 是 2n 维辛单位: \[ J = \begin{pmatrix} 0_{n \times n} & 1_{n \times n} \\ -1_{n \times n} & 0_{n \times n} \end{pmatrix}, \] 其中 \(1_{n \times n}\) 是 n × n 单位矩阵, \(0_{n \times n}\) 是 n × n 零矩阵. 利用辛性质, 我们可以证明一般情况下对于每个特征值, 其倒数也是一个特征值. 假设 ρ 是一个特征值, 所以 ρ 满足 \(\det(M - \rho I) = 0\). 如果 M 被其转置替换, 这个方程不变, 所以 ρ 也是 \(M^T\) 的一个特征值: \[ M^T \alpha' = \rho \alpha'. \] 由此我们可以看到 \[ \frac{1}{\rho} \alpha' = (M^T)^{-1} \alpha'. \] 现在, 根据辛性质, 我们有 \[ MJ = J(M^T)^{-1}. \]

所以 \[ MJ\alpha' = J(M^T)^{-1}\alpha' = \frac{1}{\rho} J\alpha', \] 我们可以得出结论, \(1/\rho\) 是 M 的一个特征值, 特征向量为 \(J\alpha'\). 根据对于每个特征值, 其倒数也是一个特征值这一事实, 我们推断变换 M 的行列式, 即特征值的乘积, 为 1.

特征值必须与倒数和复共轭相关联的约束恰好在更高维度中产生了一种新的特征值模式. 图 4.5 显示了唯一可能的新模式.

我们已经看到不动点的李雅普诺夫指数与不动点的特征乘子相关, 所以哈密顿量对乘子的约束对应于不动点处李雅普诺夫指数的哈密顿约束.

对于每个特征乘子, 其倒数也是特征乘子. 这意味着在不动点处, 对于每个正李雅普诺夫指数, 都存在一个具有相同大小的相应负李雅普诺夫指数. 事实证明, 如果参考轨迹不是不动点, 这也成立. 对于哈密顿系统, 对于每个正李雅普诺夫指数, 都存在一个大小相等的相应负指数.

描述(也许通过绘制横截面)四元组可能产生的轨道.

线性不稳定的不动点表明完整系统在该点不稳定. 这意味着从该不动点附近开始的轨迹会偏离该不动点. 另一方面, 不动点的线性稳定性通常不保证完整系统在该点稳定. 对于二自由度哈密顿系统, Kolmogorov-Arnold-Moser 定理在某些条件下证明了线性稳定性意味着非线性稳定性. 然而, 在更高维度中, 尚不清楚线性稳定性是否意味着非线性稳定性.

我们如何在有限区域内容纳无限多个有限面积的副本, 而不允许稳定流形和不稳定流形自相交叉? 解决这个明显的悖论.

同宿缠结不仅仅是一个噩梦. 我们实际上可以计算它. 非常靠近不稳定不动点, 稳定流形和不稳定流形变得与线性化系统的特征向量沿射线无法区分. 因此, 计算不稳定流形的一种方法是取靠近不动点沿线性化系统不稳定流形的一系列初始条件, 并在时间上向前演化它们. 类似地, 稳定流形可以通过取沿线性化系统稳定流形的一系列初始条件并在时间上向后演化它们来构造.

我们可以通过选择沿流形的某个参数(如弧长), 并对每个参数确定需要多少次映射迭代才能将点带回到不动点的某个小区域内, 从而做得更好. 然后我们选择沿线性化特征向量的一个初始条件, 并用映射将点迭代回来. 这个想法在以下程序中实现:

(define ((unstable-manifold T xe ye dx dy A eps) param)
  (let ((n (floor->exact (/ (log (/ param eps)) (log A)))))
    (((iterated-map T n) (+ xe (* dx (/ param (expt A n)))))
     (+ ye (* dy (/ param (expt A n)))))
     cons
     list)))

其中 T 是映射, xe 和 ye 是不动点的坐标, dx 和 dy 是线性化特征向量的分量, A 是特征乘子, eps 是线性化映射足够好地逼近 T 的尺度, param 是沿流形的连续参数. 该程序假设沿流形存在基本的指数发散–这就是为什么我们取 param 的对数来获得线性区域中的初始条件. 这个假设不完全正确, 但目前足够好. 曲线由对 plot-parametric-fill 的调用生成, 该调用递归地细分参数区间, 直到有足够的点获得平滑曲线.

(define (plot-parametric-fill win f a b near?)
  (let loop ((a a) (xa (f a)) (b b) (xb (f b)))
    (if (not (close-enuf? a b (* 10 *machine-epsilon*)))
        (let ((m (/ (+ a b) 2)))
          (let ((xm (f m)))
            (plot-point win (car xm) (cdr xm))
            (if (not (near? xa xm))
                (loop a xa m xm))
            (if (not (near? xb xm))
                (loop m xm b xb)))))))

near? 参数是测试两个点是否在图中的给定距离内. 因为一些坐标是角度变量, 这可能涉及主值比较. 例如, 对于驱动摆截面, 水平轴是角度, 但垂直轴不是, 所以图像是在圆柱体上:

(define (cylinder-near? eps)
  (let ((eps2 (square eps)))
    (lambda (x y)
      (< (+ (square ((principal-value pi)
                      (- (car x) (car y)))))
            (square (- (cdr x) (cdr y))))
         eps2))))

图 4.9 显示了驱动摆同宿缠结的计算结果. 参数为 m = 1kg, g = 9.8kgms⁻¹, l = 1m, \( \omega = 4.2\sqrt{g/l} \), 振幅 A = 0.05m. 作为参考, 图 4.9 在相同尺度上显示了这些参数的截面.

a. 计算标准映射的稳定流形和不稳定流形. b. 识别同宿缠结上那些在其存在性论证中起作用的特征, 例如稳定流形和不稳定流形的中心交叉点等. c. 研究过程中的误差. 计算出的流形真的正确吗, 还是异想天开的产物? 可以想象误差是指数的, 计算出的流形与实际流形毫无关系. d. 同宿缠结实际占据了多少空间? 考虑耦合常数 K = 0.8 的值. 同宿缠结真的填满了明显的混沌区吗?

假设我们有一个时间无关的 n 自由度系统, 它可以简化为求积. 对于相空间的每个区域, 都存在一个系统的局域表述, 使得系统的演化由一个只依赖于动量的时间无关哈密顿量描述. 进一步假设坐标都是角度. 设 θ 是角度元组, J 是共轭动量元组. 哈密顿量是 \[ H(t, \theta, J) = f(J). \] 哈密顿方程很简单

其中 \(\omega(J) = Df(J)\) 是频率元组, 每个自由度对应一个分量. 动量都是常数, 因为哈密顿量不依赖于任何坐标. 坐标角的运动是匀速的; 角的变化率是频率 ω, 它只依赖于常数动量. 给定初始值 \(\theta(t_0)\) 和 \(J(t_0)\) 在时间 \(t_0\), 解很简单:

虽然解很简单, 但存在许多不同类型的轨道: 平衡解, 周期轨道和准周期轨道, 这取决于频率比.

如果对于某个 J, \(\omega(J)\) 为零, 那么对于任何 θ, θ 和 J 都是常数. 系统处于平衡点.

如果系统的所有坐标(和动量)在某个稍后时间返回到初始坐标(和动量), 则解是周期的. 每个具有非零频率 \(\omega^i(J(t_0))\) 的坐标 \(\theta^i\) 都是周期的, 周期为 \(T_i = 2\pi / \omega^i(J(t_0))\). 系统的周期因此必须是每个单个坐标周期 \(T_i\) 的整数倍 \(k_i\). 如果系统对于某组整数倍是周期的, 那么它对于任何除以公因数的整数倍也是周期的. 因此系统的周期是 \(T = (k_i/d) T_i\), 其中 d 是整数 \(k_i\) 的最大公约数.

对于具有两个自由度的系统, 如果存在互质整数 k 和 j 使得 \(k\omega^0(J(t_0)) = j\omega^1(J(t_0))\), 则解是周期的. 系统的周期是 \(T = 2\pi j / \omega^0(J(t_0)) = 2\pi k / \omega^1(J(t_0))\); 频率是 \(\omega^0(J(t_0))/j = \omega^1(J(t_0))/k\). 2-环面上的周期运动如图 4.10 所示.

如果频率 \(\omega^i(J(t_0))\) 满足一个整数系数关系 \(\sum_i n_i \omega^i(J(t_0)) = 0\), 我们称频率满足一个公度性. 如果对于任何非零整数系数都不存在公度性, 我们称频率是线性无关的(相对于整数), 并且解是准周期的. 可以证明, 对于 n 个不成公比的频率, 所有解都任意接近构型空间中的每个点. ⁷

对于具有两个自由度的系统, 在一个由特定作用量-角度变量集描述的区域中的解要么是平衡解, 要么是周期解, 要么是准周期解. ⁸ 对于具有两个以上自由度的系统, 存在既非周期也非准周期的轨迹(具有 n 个频率). 这些是具有较少频率的准周期, 并在相应的较低维环面上是稠密的.

正如我们所见, 在作用量-角度坐标中, 角度以恒定的角频率运动, 而动量是常数. 因此, 作用量-角度坐标中的截面特别简单. 我们可以为时间无关的二自由度系统或具有周期驱动的一自由度系统制作截面. 在后一种情况下, 作用量-角度系统中的一个角度是驱动的相位. 我们通过在另一个坐标经过某个特定值(例如零)时累积一个规范坐标对的点来制作截面. 如果我们将截面点绘制成横坐标为角度坐标, 纵坐标为共轭动量, 那么所有轨迹的截面点都位于水平线上, 如图 4.11 所示.

为确定起见, 设截面平面为 \((\theta^0, J_0)\) 平面, 截面条件为 \(\theta^1 = 0\). 其他

我们的不动点构造中有如此多的条件, 以至于人们可能会产生怀疑. 我们可以通过实际计算特定问题的各个部分来使构造更具说服力. 考虑周期驱动转子, 哈密顿量为 (4.41). 我们设 m=1kg, l=1m, A=0.1m, \( \omega = 4.2\sqrt{9.8} \). 我们将映射到相同角度的点称为" 径向映射点" . 我们用简单的二分法找到它们:

(define (radially-mapping-points map Jmin Jmax phi eps)
  (bisect
   (lambda (J)
     ;; difference between phi and image angle
     ((principal-value pi)
      (- phi (map phi J (lambda (phip Jp) phip) list))))
   Jmin Jmax eps))

过程 map 实现某个映射, 它可能是某个更原始映射的迭代. 我们给该过程一个要研究的角度 phi 和一个要搜索的作用量范围 Jmin 到 Jmax, 以及解的容差 eps. 我们用适当的包装代码绘制曲线 C₀(映射径向的初始条件)和 C₁(C₀ 的像).

在图 4.16 中, 我们展示了驱动转子不动点的庞加莱-比尔霍夫构造. 这些特定的曲线是为旋转和驱动之间的两个 1:1 公度性构造的. 对于每种旋转方向, 都有一组不动点. 相应的截面如图 4.17 所示. 我们看到截面正好在庞加莱-比尔霍夫构造显示曲线 C₀ 和 C₁ 交叉的地方显示了不动点的存在. 实际上, 我们可以看到不动点的性质清楚地反映在 C₀ 和 C₁ 曲线的相对构型中.

在图 4.18 中, 我们展示了旋转数为 1/3 的结果. 曲线是截面映射三次迭代的径向映射点(实线)和这些点的像(点

线). 这些曲线因其靠近图 4.17 中所示的 1:1 岛屿而变形. 相应的截面如图 4.19 所示.

考虑图 3.27. 使用庞加莱-比尔霍夫构造找到三个主要岛链的不动点.

不变曲线, 如果存在, 由特定的旋转数表征. 不变曲线上的点映射到不变曲线上的点. 邻近点映射到邻近点, 保持顺序.

在未受扰可积系统的截面上, 连续截面点之间的角度是恒定的: \(\Delta\theta = 2\pi\nu(J)\), 对于旋转数 \(\nu(J)\). 这个将圆以恒定角步长映射到自身的映射我们称为均匀圆映射.

对于给定的旋转数, 截面上的点按仅由旋转数决定的特定顺序排列. 当微扰开启时, 具有特定旋转数的不变曲线将被扭曲, 并且连续点之间的角度将不再恒定. 要拥有特定的旋转数, 唯一的要求是平均角度变化为 \(\Delta\theta\). 尽管如此, 截面上点的顺序是保持的, 并且是旋转数的特征.

我们可以利用这样一个事实, 即具有给定旋转数的不变曲线上的点序列必须具有特定的顺序来找到不变曲线. 通过用受扰映射和均匀圆映射演化候选初始点, 并比较生成的点序列的顺序, 我们可以判断初始点是在所需的不变曲线上还是在哪一侧.

假设我们有一个可以迭代以获得截面上点的映射. 利用比较点顺序与均匀圆映射顺序的想法, 来指示我们的轨道旋转数与指定旋转数相比如何, 我们可以通过二分搜索找到不变曲线的动量(对于指定角度): ¹³

(define (find-invariant-curve map rn theta0 Jmin Jmax eps)
  (bisect (lambda (J) (which-way? rn theta0 J map))
          Jmin Jmax eps))

然而, 我们需要能够确定改变动量的方向以接近所需的旋转数.

在标准映射中找到另一个黄金不变曲线. 放大它以显示它在高放大倍数下保持曲线的特征.

从图 4.21 可以看出, 不变曲线上的点并非均匀访问, 这与我们绘制均匀圆映射角度时得到的情况不同. 这是因为一个区间在映射时可能会被拉伸或压缩. 我们可以计算不变曲线上每个角度的相对访问概率密度. 获得此结果的一种粗略方法是计算落入等增量角度仓的点数. 它

更有效的方法是使用根据被研究映射构造的线性变分映射, 让我们能够计算从一个点到其后继点的增量角度变化. 由于小区间内的所有点都映射到(按相同顺序)目标点周围的小区间内, 因此一个点的相对概率密度与该点周围增量区间的大小成反比. 为了开始这个过程, 我们需要对不变曲线的初始斜率有一个好的估计. 我们可以通过对我们用来细化具有给定旋转数的不变曲线动量的区间的动量和角度增量进行差商来估计斜率. 图 4.22 和 4.23 显示了标准映射中黄金缠绕数不变曲线的访问相对概率密度作为角度的函数, 对应三个不同的参数 K 值. 随着 K 的增加, 某些角度变得不太可能被访问. 在 K = 0.971635406 附近, 某些角度从未被访问. 但不变曲线必须是连续的. 因此, 对于更大的 K, 具有此旋转数的不变曲线将不存在. 事实上, 如果不变集以给定的旋转数持续存在, 它将有无限多个洞(因为它具有无理缠绕数). 这样的集合有时被称为康托洛斯 (cantorus).

随着参数 K 增加超过临界值, 黄金不变曲线不复存在. 研究寻找不变曲线的方法在 K 超过临界值时如何失效.

制作重现图 4.22, 4.22 和 4.23 的程序. 你需要开发一种有效的方法来估计访问概率. 文中给出了如何做到这一点的一个建议, 但你可能会找到更好的方法.

过程 F->CT 接受一个实现构型坐标变换 F 的过程, 并返回一个实现相空间坐标变换的过程.

设 q 和 q' 是由旋转 R 关联的直角坐标: \(q = R q'\). 系统的拉格朗日量是 \(L(t, q, v) = \frac{1}{2} m v^2 - V(q)\). 找到相应的相空间变换 C. 比较动量直角分量的变换方程与速度直角分量的变换方程. 考虑到方程 (5.10), 你感到惊讶吗?

如果我们说 C 对于哈密顿量 H 和 H' 是正则的, 当且仅当 \(D_s H \circ C = DC \cdot D_s H'\), 那么: a. 证明正则变换的复合是正则的. b. 证明正则变换的复合是结合的. c. 证明恒等变换是正则的. d. 证明正则变换存在逆变换, 且逆变换是正则的.

我们将正则变换定义为相空间坐标的一种变换, 哈密顿方程对其适当地变换. 一个正则变换必须满足的条件(方程 5.19 或 5.20)涉及哈密顿量. 如果哈密顿量通过复合变换并且变换是时间无关的, 那么我们可以判断相空间变换是否是正则的, 而无需进一步参考哈密顿量.

首先, 我们以稍微不同的形式重写哈密顿方程. 哈密顿方程是通过重新排列哈密顿量导数的分量然后对其中一些取反来构造的. 我们引入一个完成这种重排的洗牌函数: \[ \mathcal{J}([a, b, c]) = (0, c, -b). \] \(\mathcal{J}\) 的参数是一个哈密顿型函数导数的分量的 down 元组. 洗牌函数是线性的. 我们还引入一个常数函数: \[ \mathcal{T}([a, b, c]) = (1, 0, 0). \] 有了这些, 哈密顿方程可以表示为 \[ D\sigma = (\mathcal{J} + \mathcal{T}) \circ DH \circ \sigma. \] 使用 \(\mathcal{J}\) 和 \(\mathcal{T}\), 正则条件 (5.20) 可以重写为

\(\mathcal{T}\) 的值不依赖于其参数, 对于不含时变换 \(\mathcal{T} = DC \cdot \mathcal{T}\), 所以正则条件变为 \[ \mathcal{J} \circ (DH) \circ C = DC \cdot (\mathcal{J} \circ ((DH \circ C) \cdot (DC))). \] 应用于特定的相空间状态 s, 这是 \[ \mathcal{J}(DH(C(s))) = DC(s) \cdot \mathcal{J}(DH(C(s)) \cdot DC(s)). \]

设 Φ 是一个接受乘子并产生一个线性变换的函数, 该线性变换将乘子乘以线性变换的参数: \[ \Phi(A)(v) = A \cdot v. \] 类似地, 设 Φ* 是一个接受乘子并产生一个线性变换的函数, 该线性变换将线性变换的参数乘以乘子: \[ \Phi^*(A)(p) = p \cdot A. \] 使用 Φ 和 Φ*, 我们可以重写条件 (5.27) 为 \[ \mathcal{J}(DH(C(s))) = (\Phi(DC(s)) \circ \mathcal{J} \circ \Phi^*(DC(s)))(DH(C(s))). \] 如果满足以下条件, 则此条件成立 \[ \mathcal{J} = \Phi(DC(s)) \circ \mathcal{J} \circ \Phi^*(DC(s)). \] 对于通过复合变换的哈密顿量, 如果不含时变换 C 的导数 DC 满足此条件, 则该变换是正则的.

注意条件 (5.31) 不涉及哈密顿量. 这是一个了不起的结果. 虽然我们假设哈密顿量通过与变换复合进行变换, 但我们可以判断一个不含时相空间变换是否保持哈密顿方程的动力学, 而无需进一步参考动力学系统的细节.

测试实现如下:

(define ((time-independent-canonical? C) s)
  ((- J-func
      (compose (Phi ((D C) s))
               J-func
               (Phi* ((D C) s))))
   (compatible-shape s)))

这里 `J-func` 实现了 \( \mathcal{J} \), `Phi` 实现了 \( \Phi \), `Phi*` 实现了 \( \Phi^* \). `compatible-shape` 返回一个与给定参数 `s` 形状兼容的结构(用于测试). 该过程测试一个函数的复合是否与 \( \mathcal{J} \) 相同, 方法是计算它们在应用于一般典型参数时的差值. ⁴ 这里它们应用于具有 \(DH(s)\) 形状的结构, 对于任意相空间状态 \(s\). ⁵ 例如, 考虑以下极坐标-正则变换: \[ (t, x, p_x) = C_\alpha (t, \theta, I) \] 其中 \[ x = \sqrt{\frac{2I}{\alpha}} \sin\theta \] \[ p_x = \sqrt{2\alpha I} \cos\theta. \] 这里 α 是我们可以任意设置的参数. 我们定义:

(define ((polar-canonical alpha) H-state)
  (let ((t (state->t H-state))
        (theta (coordinate H-state))
        (I (momentum H-state)))
    (let ((x (* (sqrt (/ (* 2 I) alpha)) (sin theta)))
          (p_x (* (sqrt (* 2 alpha I)) (cos theta))))
      (up t x p_x))))

现在我们只需运行我们的测试:

谐振子的分析说明了广义正则变换在解决问题中的应用. 谐振子是简单弹簧质量系统的数学模型. 质量为 m, 弹簧常数为 k 的弹簧质量系统的哈密顿量是 \[ H(t, x, p_x) = \frac{p_x^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2. \]

是否存在一个拉格朗日量 L' 对应于谐振子哈密顿量 \(H'(t, \theta, I) = \omega I\)? 这可能意味着什么?

设 x, p 和 θ, I 是两组规范共轭变量. 考虑形式为 \(x = \beta I^\alpha \sin\theta\) 和 \(p = \beta I^\alpha \cos\theta\) 的变换. 确定所有使该变换是组合正则的 α 和 β.

标准映射是正则变换吗? 回想一下标准映射是: \(I' = I + K \sin\theta\), 其中 \(\theta' = \theta + I'\), 两者都模 2π.

条件 (5.31) 涉及函数的复合, 所有这些都是线性变换. 线性变换可以用矩阵表示. 矩阵表示是相对于基定义的. 对于增量哈密顿状态, 我们将状态分量组织为时间, 坐标分量和相应动量分量的列矩阵.

线性变换 \(\mathcal{J}\) 的乘子的矩阵表示是 J. 我们可以通过对线性变换求导并在任意点求值来找到线性变换的乘子: ⁸ \(D\mathcal{J}([a, b, c])\). 我们可以使用工具 s->m 获得矩阵表示, 该工具接受线性变换的乘子并返回该乘子的矩阵表示. ⁹ 矩阵 J 仅取决于自由度的数量. 例如, 对于具有两个自由度的系统, J 为:

(print-expression
 (let* ((s (typical-H-state 2))
        (s* (compatible-shape s)))
   (s->m s* ((D J-func) s*) s*)))
(matrix-by-rows (list 0 0 0  0 0)
                (list 0 0 0  1 0)
                (list 0 0 0  0 1)
                (list 0 -1 0 0 0)
                (list 0 0 -1 0 0))

用矩阵表示, 测试变换是否是辛的:

(define ((symplectic? C) s)
  (let ((s* (compatible-shape s)))
    (let ((J (s->m s* ((D J-func) s*) s*))
          (DCs (s->m s* ((D C) s) s)))
      (- J (* DCs J (m:transpose DCs))))))

例如, 我们可以验证从坐标变换 p->r 派生出的点变换是辛的:

设 A 是一个辛矩阵: \(J_n = A J_n A^T\). 证明 \(A^T\) 和 \(A^{-1}\) 是辛的.

证明变换 \(q' = \log\left(\frac{1}{q}\sin p'\right)\) 且 \(p = q' \cot p'\) 是辛的.

我们已经发现, 不含时变换(涉及坐标和共轭动量, 但不涉及时间)如果其导数是辛的, 则是正则的. 让我们回到辛条件的计算, 但现在允许变换方程中存在显式的时间依赖性.

考虑一个到均匀旋转坐标系的不含时点变换: \[ q = R(\Omega)(t, q'), \] 分量为

作为一个程序, 这是

(define ((rotating n) state)
  (let ((t (time state))
        (q (coordinate state)))
    (let ((x (ref q 0))
          (y (ref q 1))
          (z (ref q 2)))
      (up (+ (* (cos (* n t)) x) (* (sin (* n t)) y))
          (- (* (cos (* n t)) y) (* (sin (* n t)) x))
          z))))

这个变换到相空间的扩展是

(define (C-rotating Omega) (F->CT (rotating Omega)))

我们首先验证这个含时变换的位置-动量部分是辛的:

(pe
 ((symplectic-transform? (C-rotating 'Omega))
  (up 't
      (coordinate-tuple 'x 'y 'z)
      (momentum-tuple 'px 'py 'pz))))
(matrix-by-rows (list 0 0 0 0 0 0)
                (list 0 0 0 0 0 0)
                (list 0 0 0 0 0 0)
                (list 0 0 0 0 0 0)
                (list 0 0 0 0 0 0)
                (list 0 0 0 0 0 0))

对于这个变换, 对哈密顿量的适当修正是 \[ K(\Omega)(t; x', y', z'; p'_x, p'_y, p'_z) = -\Omega(x' p'_y - y' p'_x), \] 这是坐标系的旋转速率乘以角动量. 其理由将在 5.6 节给出. 实现是:

(define ((K Omega) s)
  (let ((q (coordinate s)) (p (momentum s)))
    (let ((x (ref q 0)) (y (ref q 1))
          (px (ref p 0)) (py (ref p 1)))
      (* -1 Omega (- (* x py) (* y px))))))

应用测试:

(print-expression
 ((canonical-K? (C-rotating 'Omega) (K 'Omega))
  (up 't
      (up 'x 'y 'z)
      (down 'p_x 'p_y 'p_z))))
(up 0 (up 0 0 0) (down 0 0 0))

残差为零, 所以这个 K 完成了正则变换.

如果变换的 pq 部分具有辛导数, 则变换是辛的. 这个条件可以简单地用泊松括号表示.

泊松括号可以用 \( \mathcal{J} \) 表示: \[ \{f, g\} = (Df) \cdot (\mathcal{J} \circ (Dg)), \] 正如可以通过写出分量来看到的那样. 我们将变换 C 分解为位置和动量部分:

用各个分量函数表示, 辛条件 (5.31) 是

其中 \(\delta^i_j\) 当 i=j 时为 1, 否则为零. 这些被称为基本泊松括号. 如果一个变换满足这些基本泊松括号关系, 那么它是辛的.

我们发现, 如果一个含时变换的位置-动量部分是辛的, 并且我们通过加一个合适的 K 来修改哈密顿量, 那么这个变换是正则的. 我们可以用泊松括号重写这些条件. 如果哈密顿量是 \[ H'(t, q', p') = H(t, A(t, q', p'), B(t, q', p')) + K(t, q', p'), \] 那么如果坐标-动量变换满足基本泊松括号, 并且 K 满足:

则该变换将是正则的.

填写细节, 证明辛条件 (5.31) 等价于基本泊松括号 (5.61), 并且对 K 的条件 (5.53) 等价于对 K 的泊松括号条件 (5.63).

我们在方程 (5.10) 中注意到, 点变换的正则扩展保持了 pv 的值. 这对于更一般的正则变换不成立. 我们可以用刚刚考虑的变换来说明这一点. 沿着对应的路径 x, px 和 θ, I \[ x(t) = \sqrt{\frac{2I(t)}{\alpha}} \sin\theta(t) \] \[ p_x(t) = \sqrt{2I(t)\alpha} \cos\theta(t). \] 所以 Dx 是 \[ Dx(t) = D\theta(t) \sqrt{\frac{2I(t)}{\alpha}} \cos\theta(t) + DI(t) \frac{1}{\sqrt{2I(t)\alpha}} \sin\theta(t). \] pv 与变换后的 p'v' 的差是 \[ p_x(t) Dx(t) - I(t) D\theta(t) = I(t) D\theta(t) (2\cos^2\theta(t) - 1) + DI(t) \sin\theta(t) \cos\theta(t). \] 通常这不为零. 乘积 pv 在一般正则变换下不一定不变.

这是一个显著的事实: 两个相空间状态函数的泊松括号与正则变换的复合等于分别用变换复合的两个函数的泊松括号. 粗略地说, 泊松括号在正则相空间变换下是不变的.

设 f 和 g 是两个相空间状态函数. 使用泊松括号的 \( \mathcal{J} \) 表示(见 5.2.4 节),

其中使用了 C 是辛的且满足方程 (5.27) 这一事实. 抽象到相空间状态的函数, 这是: \[ \{f \circ C, g \circ C\} = \{f, g\} \circ C. \]

考虑一个正则变换 C. 设 \( \hat{C}_t \) 是一个带参数 t 的函数, 使得 \((q, p) = \hat{C}_t(q', p')\) 如果 \((t, q, p) = C(t, q', p')\). 函数 \( \hat{C}_t \) 将相空间坐标映射到给定时间的备用相空间坐标. 考虑区域 R 在 (q, p) 中以及区域 R' 在 (q', p') 中, 使得 \(R = \hat{C}_t(R')\). 区域 R 的体积是 \[ V(R) = \int_R 1 = \int_{R'} \det(D\hat{C}_t). \] 现在如果 C 是辛的, 那么 \(D\hat{C}_t\) 的行列式为 1(见 4.2 节), 所以 \[ V(R) = V(R'). \] 因此, 相空间体积被辛变换保持.

刘维尔定理表明时间演化保持相空间体积. 这里我们看到正则变换也保持相体积. 稍后, 我们会发现时间演化实际上会生成一个正则变换.

泊松括号在正则变换下的不变性可以用来证明另一个密切相关的

反对称双线性形式在正则变换下的不变性. 定义¹¹ \[ \omega(\zeta_1, \zeta_2) = P(\zeta_2) Q(\zeta_1) - P(\zeta_1) Q(\zeta_2), \] 其中 \(Q = I_1\) 和 \(P = I_2\) 分别是坐标和动量选择器. 参数 \(\zeta_1\) 和 \(\zeta_2\) 是增量相空间状态. 在正则变换 \(s = C(s')\) 下, 增量状态变换为导数 \[ \zeta_i = DC(s') \zeta'_i. \] 我们将证明 \[ \omega(\zeta_1, \zeta_2) = \omega(\zeta'_1, \zeta'_2), \] 前提是 \(\zeta'_i\) 没有时间分量.

条件 (5.27), 即具有组合哈密顿量 H 的不含时 C 是正则的, 等价于辛条件 (5.31), 后者不涉及哈密顿量 H. 因此对于不含时辛 C, 条件 (5.27) 也对哈密顿量替换为相空间上的任何函数 f 成立: \[ \mathcal{J}(Df(C(s))) = DC(s) \cdot \mathcal{J}((D(f \circ C))(s)). \] 我们将在下面使用这个. 用 ω 表示, 泊松括号是 \[ \{f, g\}(s) = \omega((\tilde{\mathcal{J}} \circ Df)(s), (\tilde{\mathcal{J}} \circ Dg)(s)), \] 正如可以通过写出分量看到的那样. 我们利用泊松括号在正则变换下是不变的事实 \[ (\{f, g\} \circ C)(s') = \{f \circ C, g \circ C\}(s'). \]

考虑相空间中区域 R 的有向面积(见图 5.2). 假设我们进行从坐标 \((q', p')\) 到 \((q, p)\) 的正则变换, 将区域 R' 映射到区域 R. 变换后坐标中区域的边界就是原始边界在正则变换下的像. 设 \(R_{q_i, p_i}\) 是区域 R 在坐标 \(q_i\) 和共轭动量 \(p_i\) 的 \(q_i, p_i\) 平面上的投影, \(A_i\) 是其面积. 我们称 \(q_i, p_i\) 平面为这些相空间变量中的第 i 个正则平面. 类似地, 设 \(R'_{q'_i, p'_i}\) 是 R' 在 \(q'_i, p'_i\) 平面上的投影, \(A'_i\) 是其面积. 那么结果是 R 和 R' 的投影面积之和是相同的: \[ \sum_i A_i = \sum_i A'_i. \]

也就是说, 正则变换保持正则平面上投影面积的总和. 另一种说法是 \[ \sum_i \int_{R_{q_i, p_i}} dq^i dp_i = \sum_i \int_{R'_{q'_i, p'_i}} dq'^i dp'_i. \] 面积积分的这个等式可以用斯托克斯定理重写为线积分的等式, 对于单连通区域 \(R_{q_i, p_i}\) 和 \(R'_{q'_i, p'_i}\), \[ \sum_i \oint_{\partial R_{q_i, p_i}} p_i dq^i = \sum_i \oint_{\partial R'_{q'_i, p'_i}} p'_i dq'^i. \] 积分和求和的顺序可以颠倒, 因为 R 的边界投影到正则平面上的边界.

对于 t=τ 的特殊选择, 这个结果可以以一种有趣的方式重新表述. 设 E 是原始非扩展相空间中哈密顿量的值. 使用 \(q^n = t\) 和 \(p_n = p_t = -E\), 我们可以写 \[ \sum_{i=0}^{n-1} \int_{R_i} dq^i dp_i - \int_{R_n} dt dE = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{R'_i} dq'^i dp'_i - \int_{R'_n} dt' dE' \] 以及 \[ \oint_{\partial R} \left( \sum_{i=0}^{n-1} p_i dq^i - E dt \right) = \oint_{\partial R'} \left( \sum_{i=0}^{n-1} p'_i dq'^i - E' dt' \right). \] 关系式 (5.121 和 5.122) 是庞加莱-嘉当积分不变量的两种表述.

验证 \(L_e\) 在速度上是一次齐次的, 并且其勒让德变换为零.

a. 验证 \(q_e\) 的拉格朗日方程对满足原始 q 拉格朗日方程的完全相同的轨迹成立. b. 验证 t 的拉格朗日方程将能量变化率与 \(\partial_0 L\) 联系起来.

研究扩展相空间中的洛伦兹变换作为点变换.

一个显示在扩展相空间中重构问题效用的例子是限制性三体问题: 低质量粒子受到两个其他大质量天体引力吸引的运动, 这两个天体在某个固定轨道上运动. 这个问题是一个理想化的情况, 即一个质量非常小的天体在两个质量大得多的天体存在下运动. 小天体对大天体的任何影响都被忽略了. 在最简单的版本中, 所有三个天体的运动都假定在同一平面内, 并且两个大质量天体的轨道是圆形的.

具有较大质量的天体的运动不受小质量的影响, 因此我们将这种情况建模为小天体在大天体经历

预定运动的时变场中运动. 这种情况可以用含时哈密顿量来捕捉: \[ H(t; x, y; p_x, p_y) = \frac{p_x^2 + p_y^2}{2m} - \frac{G m m_1}{r_1} - \frac{G m m_2}{r_2} \] 其中 \(r_1\) 和 \(r_2\) 是小天体到大天体的距离, m 是小天体的质量, \(m_1\) 和 \(m_2\) 是大天体的质量. 注意 \(r_1\) 和 \(r_2\) 是既依赖于小粒子的位置又依赖于大粒子时变位置的量.

大质量天体在圆形轨道上, 并与质心保持恒定距离. 设 \(a_1\) 和 \(a_2\) 是到质心的距离, 则距离满足 \(m_1 a_1 = m_2 a_2\). 角频率是 \(\Omega = \sqrt{G(m_1 + m_2)/a^3}\), 其中 a 是质量之间的距离. 在极坐标中, 以大质量子系统的质心为原点, 用 r 和 θ 描述低质量粒子的位置, 两个大质量天体的位置分别是 \(a_2 = m_1 a / (m_1 + m_2)\), 其 \(\theta_2 = \Omega t\), \(a_1 = m_2 a / (m_1 + m_2)\), 其 \(\theta_1 = \Omega t + \pi\). 到点质量的距离是

因此, 在极坐标中, 哈密顿量是 \[ H(t; r, \theta; p_r, p_\theta) = \frac{1}{2m} \left( p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} \right) - \frac{G m m_1}{r_1} - \frac{G m m_2}{r_2}. \] 因此我们看到哈密顿量可以写成某个函数 f 的形式, 使得 \[ H(t; r, \theta; p_r, p_\theta) = f(r, \theta - \Omega t, p_r, p_\theta). \] 基本特征是 θ 和 t 仅以组合 \(\theta - \Omega t\) 的形式出现在哈密顿量中.

摆脱时间依赖性的一种方法是选择一组新的变量, 其中一个坐标等于这个组合 \(\theta - \Omega t\), 方法是进行到旋转坐标系的点变换. 我们已经证明 \[ r' = r \]

\[ \theta' = \theta - \Omega t \] \[ p'_r = p_r \] \[ p'_\theta = p_\theta \] 对应的 \[ H'(t; r', \theta'; p'_r, p'_\theta) = H(t; r', \theta' + \Omega t; p'_r, p'_\theta) - \Omega p'_\theta = f(r', \theta', p'_r, p'_\theta) - \Omega p'_\theta \] 是一个正则变换. 新的哈密顿量, 它不是能量, 是守恒的, 因为没有显式的时间依赖性. 它是一个有用的运动积分–雅可比常数. ¹⁵

我们也可以通过进入扩展相空间, 选择 \(t = \tau\), 来消除对独立类时变量的依赖性. 哈密顿量

是自治的, 因此是运动的一个积分. 同样, 我们看到 θ 和 t 仅以组合 \(\theta - \Omega t\) 出现, 这表明进行点变换到新坐标 \(\theta' = \theta - \Omega t\). 这个点变换不依赖于新的自变量 τ. 该变换在方程 (5.109-5.112) 中指定, 并辅以指定时间坐标及其共轭动量如何处理的关系:

新的哈密顿量是通过用变换复合旧哈密顿量得到的

在 5.2.3 节中我们发现, 含时变换, 其坐标-动量部分的导数是辛的, 仅当哈密顿量通过添加满足某些约束(方程 5.54)的函数 K 进行修改时才是正则的. 证明对 K 的约束源自扩展相空间中的辛条件, 使用选择 t=τ.

一个含时变换是正则的, 如果在扩展相空间中哈密顿量通过复合变换并且扩展相空间变换是辛的. 在 5.3 节中我们证明了如果变换的导数是辛的, 那么任何二维相空间区域在正则 \(q_i, p_i\) 平面上的投影面积之和是守恒的. 这对于扩展相空间中的辛变换也是成立的. 设 R' 和 R 是扩展相空间坐标的对应区域. 设 \(A_i\) 是区域 R 在正则 \(q_i, p_i\) 平面上的投影面积, \(A'_i\) 是对应区域 R' 在正则 \(q'_i, p'_i\) 平面上的投影面积. 在扩展相空间中, 我们还有一个到 t, pt 正则平面的投影. 设 \(A_n\) 是

区域 R 在 t, pt 平面上的投影面积. 那么我们有 \[ \sum_{i=0}^n A_i = \sum_{i=0}^n A'_i. \] 用积分表示, 这是 \[ \sum_{i=0}^n \int_{R_i} dq^i dp_i = \sum_{i=0}^n \int_{R'_i} dq'^i dp'_i. \] 这个面积积分和的等式可以用斯托克斯定理重写为线积分的等式, 对于单连通区域 \(R_{q_i, p_i}\) 和 \(R'_{q'_i, p'_i}\), \[ \sum_i \oint_{\partial R_{q_i, p_i}} p_i dq^i = \sum_i \oint_{\partial R'_{q'_i, p'_i}} p'_i dq'^i. \] 积分和求和的顺序可以颠倒, 因为 R 的边界投影到正则平面上的边界.

对于 t=τ 的特殊选择, 这个结果可以以一种有趣的方式重新表述. 设 E 是原始非扩展相空间中哈密顿量的值. 使用 \(q^n = t\) 和 \(p_n = p_t = -E\), 我们可以写 \[ \sum_{i=0}^{n-1} \int_{R_i} dq^i dp_i - \int_{R_n} dt dE = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{R'_i} dq'^i dp'_i - \int_{R'_n} dt' dE' \] 以及 \[ \oint_{\partial R} \left( \sum_{i=0}^{n-1} p_i dq^i - E dt \right) = \oint_{\partial R'} \left( \sum_{i=0}^{n-1} p'_i dq'^i - E' dt' \right). \] 关系式 (5.121 和 5.122) 是庞加莱-嘉当积分不变量的两种表述.

考虑平面中心场中的运动. 我们已经看到用极坐标表示的这个系统如方程 (3.95) 所示: \[ H(t; r, \phi; p_r, p_\phi) = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\phi^2}{2mr^2} + V(r) \] 存在两个自由度, 哈密顿量是时间无关的. 因此能量, 即哈密顿量的值, 在可实现路径上是守恒的. 让我们忘记时间, 用轨道半径 r 重新参数化这个系统. ¹⁶ 为此我们求解 \[ H(t; r, \phi; p_r, p_\phi) = E \] 对于 \(p_r\), 得到 \[ H'(r; \phi; p_\phi) = -p_r = -\left( 2m(E - V(r)) - \frac{p_\phi^2}{r^2} \right)^{1/2} \] 这是约化相空间中的哈密顿量. 哈密顿方程现在相当简单: \[ \frac{d\phi}{dr} = \frac{\partial H'}{\partial p_\phi} = \frac{p_\phi}{r^2} \left( 2m(E - V(r)) - \frac{p_\phi^2}{r^2} \right)^{-1/2} \] \[ \frac{dp_\phi}{dr} = -\frac{\partial H'}{\partial \phi} = 0. \] 我们看到 \(p_\phi\) 不依赖于 r(就像它不依赖于 t 一样), 所以对于任何特定轨道, 我们可以定义一个常数角动量 L. 因此我们的问题最终变成了一个简单的求积: \[ \phi(r) = \int^r \frac{L}{r^2} \left( 2m(E - V(r)) - \frac{L^2}{r^2} \right)^{-1/2} dr + \phi_0. \]

前面介绍的从坐标和动量 (x, px) 到新坐标和新动量 (θ, I) 的极坐标-正则变换 (5.32)

是正则的. 这也可以通过找到一个合适的 F₁ 生成函数来证明. 生成函数满足一组偏微分方程 (5.148) 和 (5.149):

使用关系 (5.157) 和 (5.158), 它们指定了正则变换, 第一个方程 (5.159) 可以重写为 \[ p_x = \sqrt{x\alpha} \cot\theta = \partial_1 F_1(t, x, \theta), \]

这很容易积分得到 \[ F_1(t, x, \theta) = \frac{\alpha}{2} x^2 \cot\theta + \phi(t, \theta) \] 其中 φ 是关于第一次积分的某个积分" 常数" . 将这个 F₁ 的形式代入第二个偏微分方程 (5.160), 我们发现 \[ I = -\partial_2 F_1(t, x, \theta) = \frac{\alpha}{2} \frac{x^2}{\sin^2\theta} - \partial_1 \phi(t, \theta), \] 但我们看到如果我们设 φ=0, 就恢复了所需的关系. 所以生成函数 \[ F_1(t, x, \theta) = \frac{\alpha}{2} x^2 \cot\theta \] 生成极坐标-正则变换. 这表明这个变换是正则的.

我们可以直接证明由 F₁ 生成的变换是正则的, 方法是证明如果哈密顿方程在一组坐标中成立, 那么哈密顿方程在另一组坐标中也成立. 设 F₁ 接受参数 (t, x, y). 坐标之间的关系是

哈密顿量之间的关系是 \[ H'(t, y, p_y) = H(t, x, p_x) + \partial_0 F_1(t, x, y). \] 将生成函数关系 (5.165) 代入这个方程, 我们得到 \[ H'(t, y, -\partial_2 F_1(t, x, y)) = H(t, x, \partial_1 F_1(t, x, y)) + \partial_0 F_1(t, x, y). \]

取这个表达式等式关于变量 x 和 y 的偏导数: ¹⁷

其中参数是明确的并且已被省略. 在解路径上, 我们可以使用 (x, px) 系统的哈密顿方程来用 x 和 px 的导数替换 H 的偏导数, 得到

现在从方程 (5.165) 计算 px 和 py 沿一致路径的导数

将其中第一个代入方程 (5.169) 的第一个 \[ -(\partial_2 H')^j (\partial_1 (\partial_2 F_1)_j)_i = -(\partial_1 (\partial_2 F_1)_j)_i (Dy)^j. \] 注意 \((\partial_2 (\partial_1 F_1)_i)_j = (\partial_1 (\partial_2 F_1)_j)_i\). 假设 \(\partial_2 \partial_1 F_1\) 是非奇异的, ¹⁸ 我们推导出了 (y, py) 系统的一个哈密顿方程 \[ Dy(t) = \partial_2 H'(t, y(t), p_y(t)). \]

生成函数可以用来指定一个正则变换, 按照上面给出的规定. 我们已经证明了生成函数规定给出了一个正则变换. 这里我们展示如何从正则变换得到生成函数, 并推导生成函数规则.

生成函数对正则变换的表示可以从庞加莱积分不变量推导出来. 概要如下. 我们首先证明, 给定一个正则变换, 积分不变量意味着存在一个相空间坐标的函数, 它可以写成路径无关的线积分. 然后我们证明, 用混合坐标表示的这个函数的偏导数给出了旧坐标和新坐标之间的生成函数关系. 我们只需要对时间无关的变换这样做, 因为时间相关的变换在扩展相空间中变成时间无关的.

回想一下 5.3 节中关于积分不变量的结果. 在那里我们发现 \[ \oint_{\partial R} \sum_i p_i dq^i = \oint_{\partial R'} \sum_i p'_i dq'^i, \] 其中 R 是时间 t 时 (q', p') 坐标中的一个二维区域, R = Ct(R') 是 (q, p) 坐标中的对应区域, ∂R 表示区域 R 的边界. 这对任何区域及其边界都成立. 我们将证明这意味着

存在一个函数 F(t, q', p'), 可以用线积分定义 \[ F(t, q', p') - F(t, q'_0, p'_0) = \int_{\gamma=C_t(\gamma')} \sum_i p_i dq^i - \int_{\gamma'} \sum_i p'_i dq'^i, \] 其中 γ' 是相空间坐标中从 \( \gamma'(0) = (q'_0, p'_0) \) 开始到 \( \gamma'(1) = (q', p') \) 结束的曲线, γ 是其在 Ct 下的像. 设 \[ G_t(\gamma') = \int_{\gamma=C_t(\gamma')} \sum_i p_i dq^i - \int_{\gamma'} \sum_i p'_i dq'^i, \] 并设 γ'₁ 和 γ'₂ 是具有相同端点的两条路径. 那么 \[ G_t(\gamma'_2) - G_t(\gamma'_1) = \oint_{\partial R} p_i dq^i - \oint_{\partial R'} p'_i dq'^i = 0. \] 所以 Gt(γ') 的值只取决于 γ' 的端点. 设 \[ \bar{G}_{t, q'_0, p'_0}(q', p') = G_t(\gamma'), \] 其中 γ' 是从 q'₀, p'₀ 到 q', p' 的任何路径. 从 q'₀ p'₀ 更改初始点到 q'₁ p'₁ 会将 \bar{G} 的值改变一个常数 \[ \bar{G}_{t, q'_1, p'_1}(q', p') - \bar{G}_{t, q'_0, p'_0}(q', p') = \bar{G}_{t, q'_1, p'_1}(q'_0, p'_0). \] 所以我们可以定义 F 使得 \[ \bar{G}_{t, q'_0, p'_0}(q', p') = F(t, q', p') - F(t, q'_0, p'_0), \] 证明了方程 (5.175). 相空间点 (q, p) 在未加'变量中对应于 (q', p') 在加'变量中, 在任意时间 t. 给定 q' 和 p', p 和 q 都被确定. 通常, 给定这四个量中的任意两个, 我们可以解出另外两个. 如果我们能用位置解出动量, 我们得到一类特定的

生成函数. ¹⁹ 我们引入函数

它们求解变换方程 \((t, q, p) = C(t, q', p')\) 得到指定时间的动量关于坐标的表达式. 有了这些, 我们引入一个函数 \(F_1(t, q, q')\) 使得 \[ F_1(t, q, q') = F(t, q, f_p(t, q, q')). \] 函数 \(F_1\) 与 F 具有相同的值, 但参数不同. 我们将证明这个 \(F_1\) 实际上是 5.6 节中介绍的用于正则变换的生成函数. 让我们明确 \(F_1\) 的定义, 用线积分表示 \[ F_1(t, q, q') - F_1(t, q_0, q'_0) = \int_{q_0, q'_0}^{q, q'} (f_p(t, q, q') dq - f_{p'}(t, q, q') dq'). \] 这两个线积分可以合并成这一个, 因为它们都表示为沿 (q, q') 中曲线的积分. 我们可以利用 \(F_1\) 的路径无关性来计算 \(F_1\) 关于特定分量的偏导数

并因此推导出动量的生成函数关系. ²⁰ 所以我们得出结论 \[ (\partial_1 F_1(t, q, q'))_i = f_{p_i}(t, q, q') \] 以及 \[ (\partial_2 F_1(t, q, q'))_i = -f_{p'_i}(t, q, q'). \] 这些正是正则变换的生成函数关系和动量部分. 所以从一个正则变换开始, 我们可以找到一个生成函数, 通过它的导数给出坐标-动量部分的变换.

从一个一般的正则变换开始, 我们构造了一个 F₁ 生成函数, 从中可以重新推导出正则变换. 所以, 我们期望对于每个正则变换都存在一个生成函数. ²¹

点变换被排除在前面的论证之外, 因为我们无法从坐标推导出动量. 然而, 类似的推导允许我们为这种情况构造一个生成函数. 积分不变量给出了面积积分的等式. 还有其他写面积关系 (5.83) 等式作为线积分的方式. 我们也可以写 \[ \oint_{\partial R} \sum_i p_i dq^i = -\oint_{\partial R'} \sum_i q'_i dp'_i. \] 负号的出现是因为翻转轴线导致我们以相反的方向遍历面积. 重复刚才的论证, 我们可以定义一个函数 \[ F'(t, q', p') - F'(t, q'_0, p'_0) = \int_{\gamma=C(t, \gamma')} \sum_i p_i dq^i + \int_{\gamma'} \sum_i q'_i dp'_i, \] 它不依赖于路径 γ'. 如果我们可以解出 q 和 p 关于 q 和 p' 的表达式, 我们可以定义函数

并定义 \[ F_2(t, q, p') = F'(t, f'_{q'}(t, q, p'), p'). \] 那么正则变换由 F₂ 的偏导数给出: \[ (\partial_1 F_2(t, q, p'))_i = f'_{p_i}(t, q, p') \] 以及 \[ (\partial_2 F_2(t, q, p'))_i = f'_{q'^i}(t, q, p'). \]

对于既可以用 F₁ 又可以用 F₂ 描述的正则变换, 它们之间必须存在关系. 面积积分的备用线积分表达式是相关的. 考虑差值

函数 F 和 F' 通过一个积分项相关联 \[ F'(t, q', p') - F(t, q', p') = p' q', \] F₁ 和 F₂ 也是如此 \[ F_2(t, q, p') - F_1(t, q, q') = p' q'. \] 生成函数 F₁ 和 F₂ 通过勒让德变换相关联:

我们有被动变量 q 和 t:

但是从第一个变换 \(p = \partial_1 F_1(t, q, q')\), 所以 \[ p = \partial_1 F_2(t, q, p'). \] 此外, 由于 \(H'(t, q', p') - H(t, q, p) = \partial_0 F_1(t, q, q')\), 我们可以得出结论: \[ H'(t, q', p') - H(t, q, p) = \partial_0 F_2(t, q, p') \]

总之, 我们使用 F₁ 型生成函数来构造正则变换:

我们也可以用形式为 \(F_2(t, q, p')\) 的生成函数来表示正则变换, 其中 F₂ 的第三个参数是加'系统中的动量. ²²

在 F₁ 的情况下, 要以显式形式给出变换需要构造合适的反函数来求解方程.

类似地, 我们可以构造另外两种形式的生成函数, 足够助记地命名为 F₃ 和 F₄:

以及

我们可以用混合变量生成函数表示正则变换. 我们可以将它们扩展以表示扩展相空间中的变换. 设 \(F_2\) 是一个具有参数 \((t, q, p')\) 的生成函数. 那么, 扩展相空间中对应的 \(F_{e2}\) 可以取为 \[ F_{e2}(\tau; q, t; p', p'_t) = t p'_t + F_2(t, q, p'). \] 坐标和动量之间的关系与之前相同. 我们还有

第一个方程给出了原始哈密顿量之间的关系: \[ H'(t, q', p') = H(t, q, p) + \partial_0 F_2(t, q, p'), \] 符合要求. 我们知道不含时正则变换具有辛 qp 部分. 时间相关变换的生成函数表示不依赖于扩展相空间中的自变量. 因此, 在扩展相空间中, 变换的 qp 部分,

包括时间和与时间共轭的动量, 是辛的.

点变换可以用 F₂ 型生成函数表示. 方程 (5.6) 定义了从坐标变换 F 派生出的正则点变换, 它们是: \[ (t, q, p) = C(t, q', p') = (t, F(t, q'), p' (\partial_1 F(t, q'))^{-1}). \] 设 S 是 F 关于第二个参数的反变换 \[ q' = S(t, q), \] 使得 \(q' = S(t, F(t, q'))\). 伴随这个坐标变换的动量变换是 \[ p' = p (\partial_1 S(t, q))^{-1}. \] 我们可以通过积分方程 (5.206) 来找到给出这个变换的生成函数 F₂ \[ F_2(t, q, p') = p' S(t, q) + \phi(t, q). \] 将此代入方程 (5.205), 我们得到 \[ p = p' \partial_1 S(t, q) + \partial_1 \phi(t, q). \] 我们不需要 φ 提供的自由度, 所以我们可以将其设为零: \[ F_2(t, q, p') = p' S(t, q), \] 其中 \[ p = p' \partial_1 S(t, q). \] 所以这个 F₂ 给出了方程 (5.218) 和 (5.219) 的正则变换. 坐标变换 S 的正则变换是 F 的正则变换的逆. 根据设计

F 和 S 在坐标参数上是逆的. 恒等函数是 \(q' = I(q') = S(t, F(t, q'))\). 微分得到 \[ 1 = \partial_1 S(t, F(t, q')) \partial_1 F(t, q'), \] 所以 \[ \partial_1 F(t, q') = (\partial_1 S(t, F(t, q')))^{-1}. \] 利用这一点, 动量之间的关系 (5.223) 是 \[ p = p' (\partial_1 F(t, q'))^{-1}, \] 表明 F₂ 给出与点变换 (5.217) 等价的点变换. 所以从这个另一个角度来看, 我们看到点变换是正则的. 点变换对应的 F₁ 是:

一个常见的点变换是在极坐标和直角坐标之间转换:

使用刚刚推导出的点变换生成函数公式: \[ F_2(t; r, \theta; p_x, p_y) = [p_x \ p_y] \begin{pmatrix} r \cos\theta \\ r \sin\theta \end{pmatrix}. \] 完整的变换由此推导出来:

我们可以将直角坐标分离到变换的一侧, 极坐标分离到另一侧 \[ p_r = \frac{1}{r} (p_x x + p_y y) \] \[ p_\theta = -p_x y + p_y x. \] 因此, 用牛顿向量解释, \(p_r = \hat{r} \cdot \mathbf{p}\) 是线性动量的径向分量, \(p_\theta = ||\mathbf{r} \times \mathbf{p}||\) 是角动量的大小. 由于点变换是时间无关的, 哈密顿量通过复合变换.

一个有用的含时点变换是到旋转坐标系的转换. 这在极坐标中最容易完成. 这里我们有 \[ r' = r \] \[ \theta' = \theta - \Omega t, \] 其中 Ω 是运动坐标系的角速度. 生成函数是 \[ F_2(t; r, \theta; p'_r, p'_\theta) = [p'_r \ p'_\theta] \begin{pmatrix} r \\ \theta - \Omega t \end{pmatrix}. \] 这产生了变换方程

这表明动量在两个坐标系中是相同的. 然而, 这里的哈密顿量不是简单的复合: \[ H'(t; r', \theta'; p'_r, p'_\theta) = H(t; r', \theta' + \Omega t; p'_r, p'_\theta) - p'_\theta \Omega. \] 哈密顿量相差生成函数关于时间参数的导数. 变换到旋转坐标系, 哈密顿量的值相差角动量和坐标系角速度的乘积. 注意这个对哈密顿量的加法与前面发现的 (5.57) 相同.

在扩展相空间中, 时间是坐标之一. 使用 F₂ 型生成函数在扩展相空间中进行到旋转坐标的变换. 将通过与变换复合得到的哈密顿量与哈密顿量 (5.235) 进行比较.

在这个例子中, 我们说明了如何使用正则变换来消除一些自由度, 留下一个自由度较少的基本问题.

假设只有坐标的某些组合出现在哈密顿量中. 我们进行正则变换到一个新的相空间坐标集, 使得旧相空间坐标的这些组合是新相空间坐标的一部分. 我们选择其他独立的坐标组合来完成集合. 优点是这些其他独立坐标不会出现在新的哈密顿量中, 所以与它们共轭的动量是守恒量.

让我们看看这个想法如何让我们将两个引力体的问​​题简化为两个物体相对运动的更简单问题, 并在此过程中发现质心动量是守恒的.

考虑两个质量为 \(m_1\) 和 \(m_2\) 的运动, 仅受由势能 V(r) 描述的相互引力吸引. 这个问题有六个自由度. 粒子的直角坐标是 \(x_1\) 和 \(x_2\), 共轭动量为 \(p_1\) 和 \(p_2\). 它们中的每一个都是三个直角分量的结构. 粒子之间的距离是 \(r = \|x_1 - x_2\|\). 两体问题的哈密顿量是: \[ H(t; x_1, x_2; p_1, p_2) = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + V(r). \] 我们此时不需要进一步指定 V.

我们注意到出现在哈密顿量中的坐标的唯一线性组合是 \(x_2 - x_1\). 我们选择新的坐标, 使得新坐标的一个元组是这个组合 \[ x = x_2 - x_1 \] 为了完成新坐标集, 我们选择另一个元组是某个独立的线性组合 \[ X = a x_1 + b x_2 \] 其中 a 和 b 待定. 我们可以使用 F₂ 型生成函数 \[ F_2(t; x_1, x_2; p, P) = (x_2 - x_1) p + (a x_1 + b x_2) P, \] 其中 p 和 P 将是分别与 x 和 X 共轭的新动量. 我们推导出

我们可以解出这些新动量: \[ P = \frac{p_1 + p_2}{a + b} \] \[ p = \frac{a p_2 - b p_1}{a + b}. \] 生成函数不是时间相关的, 所以新的哈密顿量是旧哈密顿量与变换复合:

定义为 \[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \]

以及 \[ \frac{1}{M} = \frac{a^2}{m_1} + \frac{b^2}{m_2}. \] 我们认出 μ 是通常的" 约化质量" . 注意, 如果与 pP 成正比的项不存在, 那么 x 和 X 的自由度将完全不耦合, 此外, 哈密顿量的 X 部分将只是一个自由粒子的哈密顿量, 这是平凡可解的. " 交叉项" 消失的条件是 \[ \frac{b}{m_2} - \frac{a}{m_1} = 0, \] 满足条件的 \[ a = c m_1 \] \[ b = c m_2 \] 对于任何 c. 要定义变换, c 必须非零. 所以有了这个选择, 哈密顿量变成 \[ H'(t; x, X; p, P) = H_X(t, X, P) + H_x(t, x, p) \] 其中 \[ H_x(t, x, p) = \frac{p^2}{2\mu} + V(r) \] 以及 \[ H_X(t, X, P) = \frac{P^2}{2M}. \] 约化质量与之前相同, 现在 \[ M = \frac{1}{c^2 (m_1 + m_2)} \] 注意, 无需进一步指定 c, 问题已经分离为确定两个质量相对运动的问题, 以及其他自由度的问题. 我们不需要先验知识质心

可能很重要; 事实上, 只有对于特定的 c = \((m_1 + m_2)^{-1}\), X 才变成质心.

考虑一个 n 体问题, 其中势能是每对单独考虑的物体势能之和, 并且这个势能仅取决于物体之间的距离. 该系统的哈密顿量是 \[ H = T + V \] 其中 \[ T(t; x_0, x_1, \dots, x_{n-1}; p_0, p_1, \dots, p_{n-1}) = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{p_i^2}{2m_i}, \] 以及 \[ V(t; x_0, x_1, \dots, x_{n-1}; p_0, p_1, \dots, p_{n-1}) = \sum_{i

质量常数. 这些相空间坐标称为正则日心坐标.

b. 雅可比坐标分离了质心运动, 而不破坏动能通常的对角二次形式. 雅可比坐标定义为 \[ x'_i = x_i - X_{i-1}, \] 即物体 i 的位置与较低索引物体质心的差, 以及 \[ x'_0 = X_{n-1}, \] 即所有物体的质心. 通过使用 F₂ 型生成函数找到共轭动量来完成正则变换. 证明动能仍然可以写成 \[ T(t; x'_0, x'_1, \dots, x'_{n-1}; p'_0, p'_1, \dots, p'_{n-1}) = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{{p'_i}^2}{2m'_i}, \] 对于某些常数 \(m'_i\), 并且势能 V 可以完全用索引 i > 0 的雅可比坐标 \(x'_i\) 表示.

c. 是否存在任何其他正则变换, 既能分离质心, 又能将动能保留为动量平方和?

通常需要组合一系列正则变换来构成我们对任何特定力学问题所需的变换. 我们提供的变换作为这些计算中的组成部分特别有用.

我们将说明如何使用正则变换来了解平面中心场中的运动. 策略将是考虑中心场中圆周运动的微扰. 分析将通过变换到一个随圆形参考轨道运动的旋转坐标系, 然后进行近似, 将分析限制在仅略微偏离圆轨道的轨道上.

回想一下, 在直角坐标中, 我们可以轻松地写出质量为 m 的粒子在仅取决于到原点距离的势能场中运动的哈密顿量, 如下所示: \[ H(t; x, y; p_x, p_y) = \frac{p_x^2 + p_y^2}{2m} + V(\sqrt{x^2 + y^2}) \]

在这个坐标系中, 哈密顿方程很简单, 它们正是数值积分发展轨迹所需要的, 但表达式并不具启发性:

我们可以通过转换到以力源为中心的极坐标来了解更多信息.

这个坐标系明确地包含了势能的几何对称性. 利用上一节的结果, 我们可以写出新的哈密顿量: \[ H'(t; r, \phi; p_r, p_\phi) = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\phi^2}{2mr^2} + V(r) \] 我们现在可以在这些新坐标中写出哈密顿方程, 它们比直角坐标表示的方程更具启发性:

我们看到角动量 \(p_\phi\) 是守恒的, 我们可以自由选择它的常数值, 所以 \(D\phi\) 只取决于 r. 我们还看到我们可以在任何半径 \(R_0\) 处建立一个圆轨道: 我们选择 \(p_\phi = p_{\phi0}\) 使得 \(p_{\phi0}^2 / (mR_0^3) - DV(R_0) = 0\). 这

将确保 \(Dp_r = 0\), 因此 \(Dr = 0\). 这个圆轨道的角速度(平方)是 \[ \Omega^2 = \frac{DV(R_0)}{mR_0}. \] 考虑与圆轨道接近的轨道如何偏离圆轨道是具有启发性的. 最好在一个框架中完成, 其中在圆轨道上运动的物体是原点处的静止点. 我们可以通过转换到随圆轨道旋转并以轨道物体为中心的坐标来做到这一点. 我们将分三个阶段完成. 首先, 我们将变换到一个角速度为 Ω 旋转的极坐标系. 然后我们将回到直角坐标, 最后, 我们将平移坐标, 使原点位于参考圆轨道上.

我们首先研究旋转极坐标系中的系统. 这是一个含时坐标变换: \[ r' = r \] \[ \phi' = \phi - \Omega t \] \[ p'_r = p_r \] \[ p'_\phi = p_\phi \] 使用上一节推导出的公式, 我们可以直接写出新的哈密顿量: \[ H''(t; r', \phi'; p'_r, p'_\phi) = \frac{p_r^{'2}}{2m} + \frac{p_\phi^{'2}}{2mr^{'2}} + V(r') - p'_\phi \Omega \] 我们看到 H'' 不是时间相关的, 因此是守恒的, 但它不是能量. 能量在运动坐标系中不守恒, 但这里守恒的是一个新量, 它结合了能量与新坐标系中粒子的角动量和坐标系角速度的乘积. 我们将需要跟踪这个项.

接下来, 我们回到直角坐标, 但它们随参考圆轨道旋转: \[ x' = r' \cos\phi' \] \[ y' = r' \sin\phi' \] \[ p'_x = p'_r \cos\phi' - \frac{p'_\phi}{r'} \sin\phi' \]

\[ p'_y = p'_r \sin\phi' + \frac{p'_\phi}{r'} \cos\phi'. \] 哈密顿量是 \[ H'''(t; x', y'; p'_x, p'_y) = \frac{p_x^{'2} + p_y^{'2}}{2m} + \Omega (y' p'_x - x' p'_y) + V(\sqrt{x'^2 + y'^2}). \] 再进行一次快速操作, 我们将坐标系平移, 使原点位于我们的圆轨道上. 我们定义新的直角坐标 ξ 和 η, 以及以下简单的坐标和动量正则变换: \[ \xi = x' - R_0 \] \[ \eta = y' \] \[ p_\xi = p'_x \] \[ p_\eta = p'_y. \] 在这个最终坐标系中, 哈密顿量是 \[ H''''(t; \xi, \eta; p_\xi, p_\eta) = \frac{p_\xi^2 + p_\eta^2}{2m} + \Omega (\eta p_\xi - (\xi + R_0) p_\eta) + V(\sqrt{(\xi + R_0)^2 + \eta^2}), \] 哈密顿方程毫无用处地复杂, 但下一步是只考虑坐标 ξ 和 η 与 \(R_0\) 相比很小的轨迹. 在这个假设下, 我们将能够构造近似的运动方程, 这些方程在坐标中是线性的, 从而产生简单可分析的运动. 注意, 到目前为止, 我们没有做任何近似. 上面的方程对于中心场中的任何轨迹都是完全准确的.

想法是将哈密顿量中的势能项展开为级数, 并丢弃任何高于二阶的坐标项, 从而得到一阶精确的哈密顿方程: \[ U(\xi, \eta) = V(\sqrt{(\xi + R_0)^2 + \eta^2}) \] \[ = V(R_0 + \xi + \frac{\eta^2}{2R_0} + \dots) \]

\[ = V(R_0) + DV(R_0) \left( \xi + \frac{\eta^2}{2R_0} \right) + D^2 V(R_0) \frac{\xi^2}{2} + \dots. \] 所以(取反的)广义力是: \[ \partial_0 U(\xi, \eta) = DV(R_0) + D^2 V(R_0) \xi + \dots \] \[ \partial_1 U(\xi, \eta) = DV(R_0) \frac{\eta}{R_0} + \dots. \] 利用这个展开, 我们得到线性化的哈密顿方程:

当然, 一旦我们有了线性方程, 我们就知道如何精确地求解它们. 由于线性化哈密顿量是守恒的, 我们不可能得到指数扩张或坍缩. 所以可能的解非常有限. 将这些方程转换成二阶系统是有启发性的. 我们使用 \(\Omega^2 = DV(R_0)/(mR_0)\) 来消除 DV 项: \[ D^2 \xi - 2\Omega D\eta = \left( \Omega^2 - \frac{D^2 V(R_0)}{m} \right) \xi \] \[ D^2 \eta + 2\Omega D\xi = 0. \] 结合这些, 我们发现 \[ D^3 \xi + \omega^2 D\xi = 0 \] 其中 \[ \omega^2 = 3\Omega^2 + \frac{D^2 V(R_0)}{m}. \] 因此我们有一个频率为 ω 的简谐振子作为解的分量之一. 一般解有

三部分 \[ \begin{pmatrix} \xi(t) \\ \eta(t) \end{pmatrix} = \eta_0 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] \[ + \xi_0 \begin{pmatrix} 1 \\ -2At \end{pmatrix} \] \[ + C_0 \begin{pmatrix} \sin(\omega t + \phi_0) \\ \frac{2\Omega}{\omega} \cos(\omega t + \phi_0) \end{pmatrix} \] 其中 \[ A = \frac{\Omega^2 m - D^2 V(R_0)}{4\Omega m}. \] 常数 \(\eta_0, \xi_0, C_0, \phi_0\) 由初始条件确定. 如果 \(C_0=0\), 则感兴趣的粒子在圆轨道上, 但不一定与参考轨迹相同. 如果 \(C_0=0\) 且 \(\xi_0=0\), 我们有一个" 同行者" , 即与参考轨道在同一圆轨道上, 但相位不同的粒子. 如果 \(C_0=0\) 且 \(\eta_0=0\), 我们有一个粒子在内部或外部于参考轨道的圆轨道上, 并从参考轨道剪切开. 剪切是由于圆轨道的角速度随半径变化的事实. 常数 A 给出了每个半径处的剪切速率. 如果 \(\eta_0=0\) 且 \(\xi_0=0\) 但 \(C_0 \neq 0\), 则我们有" 周转圆运动" . 近圆轨道上的粒子可以看作是在围绕参考圆轨道的一个椭圆上运动. 该椭圆在圆周运动方向上被拉长了因子 \(2\Omega/\omega\), 并且它以与圆周运动相反的方向旋转. 周转圆的初始相位是 \(\phi_0\). 当然, 这些解的任何组合都可能存在.

周转圆频率 ω 和剪切率 A 由力定律(势能的径向导数)确定. 对于与半径的幂成正比的力定律 \[ F \propto r^{1-n} \] 周转圆频率与轨道频率相关: \[ \frac{\omega}{\Omega} = 2 \sqrt{1 - \frac{n}{4}} \]

剪切率是 \[ \frac{A}{\Omega} = \frac{n}{4}. \] 对于一些特定的整数力定律, 我们看到:

我们可以通过检查几个例子来了解周转圆近似产生的轨道类型. 对于某些力定律, 我们得到周转圆频率与轨道频率的整数比. 在这些情况下, 我们得到闭合轨道. 对于平方反比力定律 (n=3), 我们得到椭圆轨道, 力场中心位于椭圆的一个焦点. 图 5.3 展示了如何通过将椭圆周转圆上的运动与相同频率的圆上运动叠加来构造这种轨道的近似. 如果力与半径成正比 (n=0), 我们得到一个二维谐振子. 这里周转圆频率是轨道频率的两倍. 图 5.4 展示了这如何产生以力源为中心的椭圆轨道. 如果力与半径的 -3/4 次幂成正比, 则周转圆频率是轨道频率的 3/2. 这产生了一个三叶模式, 如图 5.5 所示. 对于其他力定律, 该分析预测的轨道是由进动的近似椭圆产生的多叶模式. 大多数情况具有不成公比的周转圆频率和轨道频率, 导致轨道在有限时间内不闭合.

周转圆近似给出了实际轨道样貌的一个很好的概念. 图 5.6, 通过数值积分粒子在场中运动的原始直角坐标方程绘制, 显示了 \(F = -r^{-2.3}\) 力定律特有的玫瑰花结型图像, 其周转圆频率和轨道频率不成公比.

我们可以直接比较数值积分系统与我们的周转圆近似之一. 例如, 数值积分我们的 \(F \propto r^{-3/4}\) 系统的结果与

我们通过周转圆得到的图像非常相似. (见图 5.7 并与图 5.5 比较. )

当力定律变得更陡峭时, 到底会发生什么? 通过绘制 r, pr 空间中哈密顿量的等高线来研究这个问题, 对于力定律指数 n 的各种值. 对于哪些 n 值存在稳定的圆轨道? 在不存在稳定圆轨道的情况下, 圆轨道和其他非圆轨道会发生什么? 这些结果如何与刘维尔定理和哈密顿系统中吸引子的不存在性一致?

向拉格朗日量添加全时间导数会导致相同的拉格朗日方程. 然而, 这两个拉格朗日量具有不同的动量, 它们导致不同的哈密顿方程. 在这里, 我们找出如何用生成函数表示相应的正则变换.

让我们重述第一章中关于全时间导数和拉格朗日量的结果. 考虑某个函数 G(t, q)

时间和坐标的函数. 我们证明了如果 L 和 L' 通过 \[ L'(t, q, \dot{q}) = L(t, q, \dot{q}) + \partial_0 G(t, q) + \partial_1 G(t, q) \dot{q} \] 相关联, 那么运动的拉格朗日方程是相同的. 两个拉格朗日量中使用的广义坐标是相同的, 但与坐标共轭的动量是不同的. 按通常方式定义 \[ P(t, q, \dot{q}) = \partial_2 L(t, q, \dot{q}) \] 以及 \[ P'(t, q, \dot{q}) = \partial_2 L'(t, q, \dot{q}). \] 所以我们有 \[ P'(t, q, \dot{q}) = P(t, q, \dot{q}) + \partial_1 G(t, q). \] 在轨迹上计算, 我们有 \[ p'(t) = p(t) + \partial_1 G(t, q(t)). \] 这个变换是 F₂ 型变换的一个特例. 设 \[ F_2(t, q, p') = q p' - G(t, q), \] 那么相关的变换是

显式地, 新的哈密顿量是 \[ H'(t, q', p') = H(t, q', p' - \partial_1 G(t, q')) - \partial_0 G(t, q'), \] 其中我们利用了 q=q' 这一事实. 这个变换有趣之处在于坐标变换是恒等变换, 但新旧动量不同,

即使在 G 没有显式时间依赖性的情况下也是如此. 假设我们有一个形式为 \[ H(t, x, p) = \frac{p^2}{2m} + V(x) \] 的哈密顿量, 那么变换后的哈密顿量是 \[ H'(t, x', p') = \frac{(p' - \partial_1 G(t, x'))^2}{2m} + V(x') - \partial_0 G(t, x'). \] 我们看到这个变换可以用来修改哈密顿量中动量线性出现的项. 从 H 开始, 变换引入线性动量项; 从 H' 开始, 变换消除线性项.

我们用驱动摆来说明这个变换的用法. 驱动摆的哈密顿量是自动从 3.1.1 节推导出来的. 我们在这里重复结果(稍微整理了一下)

其中 \(y_s\) 是驱动函数. 哈密顿量相当混乱, 并且包含一个角动量线性出现的项, 其系数同时依赖于角坐标和时间. 让我们看看如果我们应用我们的变换来消除线性项会发生什么. 我们可以通过要求动量的线性项被抵消来识别变换函数 G: \[ G(t, \theta) = -ml \cos\theta D y_s(t). \] 变换后的动量是 \[ p'_\theta = p_\theta + ml \sin\theta D y_s(t), \] 变换后的哈密顿量是 \[ H'(t, \theta, p'_\theta) = \frac{(p'_\theta)^2}{2ml^2} - ml(g + D^2 y_s) \cos\theta \]

\[ + gm y_s(t) - \frac{m}{2} (y_s(t))^2 \] 丢弃最后两项, 它们不影响运动方程, 我们发现 \[ H'(t, \theta, p'_\theta) = \frac{(p'_\theta)^2}{2ml^2} - ml(g + D^2 y_s) \cos\theta. \] 因此, 通过一个直接的正则变换, 我们找到了驱动摆的哈密顿量, 其形式相当简单, 即具有引力加速度被枢轴加速度修改的摆. 实际上, 这与我们之前通过检查(见方程 1.120)找到的驱动摆拉格朗日量的备用形式对应的哈密顿量相同. 这里的推导是通过一个简单的正则变换完成的, 其动机是希望消除动量中不希望出现的线性项.

假设正则变换 Ca 和 Cb 由 F₁ 类生成函数 F₁a 和 F₁b 生成. a. 证明 Ca 的逆变换的生成函数是 -F₁a. b. 证明复合变换 Ca ◦ Cb 的生成函数是 F₁a + F₁b, 利用生成函数不依赖于中间点这一事实.

我们考虑具有两个自由度的系统, 以及哈密顿量通过复合变换的变换. a. 考虑由以下 F₂ 生成的线性正则变换 \[ F_2(t; x_1, x_2; p'_1, p'_2) = p'_1 a x_1 + p'_1 b x_2 + p'_2 c x_1 + p'_2 d x_2. \] 证明这些变换就是点变换, 并且相应的 F₁ 为零. b. 其他线性正则变换可以通过以下 F₁ 生成 \[ F_1(t; x_1, x_2; x'_1, x'_2) = x'_1 a x_1 + x'_1 b x_2 + x'_2 c x_1 + x'_2 d x_2. \] 当然, 我们可以类似地构造 F₃ 和 F₄ 类变换来制造更多生成器. 所有线性正则变换都可以用这种方式得到吗? 如果不行, 请展示一个不能这样生成的.

c. 所有线性正则变换都可以由 a 和 b 部分所示函数生成的变换复合而成吗? d. 需要多少个独立参数来指定具有两个自由度的系统的所有可能的线性正则变换?

考虑由以下函数生成的具有两个自由度的系统的线性正则变换: \[ F_1(t; x_1, x_2; x'_1, x'_2) = x'_1 a x_1 + x'_1 b x_2 + x'_2 c x_1 + x'_2 d x_2, \] 以及一般平行四边形, 其顶点在原点, 相邻边从原点开始并延伸到相空间点 \((x_{1a}, x_{2a}, p_{1a}, p_{2a})\) 和 \((x_{1b}, x_{2b}, p_{1b}, p_{2b})\). a. 求给定平行四边形的面积, 并求正则变换下目标平行四边形的面积. 注意平行四边形的面积不守恒. b. 求给定平行四边形投影的面积, 以及正则变换下目标投影的面积. 证明作用平面上投影面积的总和是守恒的.

找到标准映射的生成函数(见练习 5.5).

以下是对生成函数规则的不正确推导. 在你阅读时, 尝试找出错误. 就此主题写一篇短文. 实际问题是什么? 设 L 和 L' 是在两个坐标系中表示的拉格朗日量, 路径分别为 q 和 q'. 进一步假设路径上 L 和 L' 的值相差一个构型和时间函数在路径上求值的导数. 这个函数可以用两组坐标表示. 考虑函数 \(F_1(t, q, q')\), 其在路径上的值 \(F_1(t) = F_1(t, q(t), q'(t))\) 在时间 t. \(F_1\) 的时间导数是 \[ DF_1(t) = (\partial_1 F_1)(t, q(t), q'(t)) Dq(t) + (\partial_2 F_1)(t, q(t), q'(t)) Dq'(t) + \partial_0 F_1(t, q(t), q'(t)). \] 拉格朗日量之间的关系因此是 \[ L(t, q, \dot{q}) - L'(t, q', \dot{q}') \]

\[ = (\partial_1 F_1)(t, q, q') \dot{q} + (\partial_2 F_1)(t, q, q') \dot{q}' + \partial_0 F_1(t, q, q'). \] 现在用哈密顿量重写拉格朗日量 \[ [p\dot{q} - H(t, q, p)] - [p'\dot{q}' - H'(t, q', p')] \] \[ = \partial_1 F_1(t, q, q') \dot{q} + \partial_2 F_1(t, q, q') \dot{q}' + \partial_0 F_1(t, q, q'), \] 其中 p 由 t, q 和 \(\dot{q}\) 以及拉格朗日量 L 确定. 对于加'函数也存在类似的关系. 让我们收集项

如果关系 (5.148–5.150) 成立, 那么这些行中的每一行都独立为零, 显然验证了拉格朗日量相差一个全时间导数. 如果这是真的, 那么运动方程将被保持, 变换将被证明是正则的. ²³

我们通过证明相流的散度为零, 利用运动方程(见 3.8 节), 推断出相空间中的体积被时间演化所保持. 我们也可以利用时间演化是正则变换这一事实来利用相空间中的体积被演化所保持.

存在另一种可以从时间演化构造出来的正则变换. 我们定义变换 \(C'_\Delta\) 使得 \[ C'_\Delta = C_\Delta \circ S_{-\Delta}, \] 其中 \(S_\Delta(a, b, c) = (a + \Delta, b, c)\) 平移相空间状态的时间. ²⁶ 更明确地说, 给定一个状态 \((t, q', p')\), 我们演化从 t 减去 Δ 得到的状态; 也就是说, 我们将状态 \((t - \Delta, q', p')\) 作为哈密顿方程演化的初始状态. 状态路径 σ 满足 \[ \sigma(t - \Delta) = (t - \Delta, \bar{q}(t - \Delta), \bar{p}(t - \Delta)) = (t - \Delta, q', p'). \] 变换的输出是状态 \[ (t, q, p) = \sigma(t) = (t, \bar{q}(t), \bar{p}(t)). \] 变换满足 \[ (t, \bar{q}(t), \bar{p}(t)) = C'_\Delta(t, \bar{q}(t - \Delta), \bar{p}(t - \Delta)). \] \(C'_\Delta\) 的参数不是一致的相空间状态, 时间参数必须减去 Δ, 然后通过该状态的演化进行变换.

为什么这是一个好主意? 我们通常的正则变换不改变时间分量. 这种修改后的时间演化变换因此具有我们之前讨论过的形式.

对于 \(C_\Delta\), 哈密顿方程守恒的条件 (5.19) 是 \[ D_s H \circ C_\Delta = DC_\Delta D_s H'_\Delta, \] 对于 \(C'_\Delta\), 哈密顿方程守恒的条件 (5.19) 是 \[ D_s H \circ C'_\Delta = DC'_\Delta D_s H'_\Delta. \] 验证这些条件是否满足.

我们可以使用简单的驱动谐振子来说明时间演化产生一个辛变换, 该变换可以以两种方式扩展为正则变换. 我们使用驱动谐振子是因为它的解可以紧凑地用显式形式表示. 假设我们有一个自然频率为 ω₀ 的谐振子, 由频率为 ω, 幅度为 α 的周期性正弦驱动. 我们将考虑的哈密顿量是 \[ H(t, q, p) = \frac{1}{2} p^2 + \frac{1}{2} \omega_0^2 q^2 - \alpha q \cos \omega t. \] 对于给定初始状态 \((t_0, q_0, p_0)\) 演化时间 Δ 的一般解是 \[ \begin{pmatrix} q(t_0 + \Delta) \\ p(t_0 + \Delta)/\omega_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\omega_0\Delta & \sin\omega_0\Delta \\ -\sin\omega_0\Delta & \cos\omega_0\Delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q_0 - \alpha' \cos\omega t_0 \\ (1/\omega_0)(p_0 + \alpha' \omega \sin\omega t_0) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha' \cos\omega(t_0 + \Delta) \\ -\alpha'(\omega/\omega_0) \sin\omega(t_0 + \Delta) \end{pmatrix} \] 其中 \(\alpha' = \alpha / (\omega_0^2 - \omega^2)\). a. 填写过程的细节

(define (((C alpha omega omega0) delta-t) state)
  ...)

实现驱动谐振子的时间演化变换. b. 用 C 表示, 从给定状态出发的一般解是

(define (((solution alpha omega omega0) state0) t)
  (((C alpha omega omega0) (- t (time state0))) state0))

检查 C 的实现是否正确, 方法是用它构造解并验证解是否满足哈密顿方程. 通过与数值积分比较进一步检查解. c. 我们知道对于任何相空间状态函数 F, 该函数沿解路径 σ 的变化率是: \[ D(F \circ \sigma) = \partial_0 F \circ \sigma + \{F, H\} \circ \sigma \] 通过编写一个简短的程序来测试它, 证明对于由 (C delta) 实现的驱动谐振子的函数, 这是成立的. 为什么这很有趣? d. 验证 C 和 Cp 都是辛的, 使用 symplectic?. e. 使用过程 canonical? 来验证 C 和 Cp 对于适当变换的哈密顿量都是正则的.

我们还可以使用庞加莱-嘉当积分不变量来证明时间演化生成正则变换. 考虑相空间坐标的一个二维区域 R', 在某个特定时间 t'(见图 5.8). 设 R 是该区域在时间间隔为 Δ 的时间演化下在时间 t 的像. 时间演化由哈密顿量 H 控制. 设 \( \sum_i A_i \) 是 R 在基本正则平面上的投影的有向面积之和. ²⁷ 类似地, 设 \( \sum_i A'_i \) 是 R' 的有向投影面积之和. 我们将证明 \( \sum_i A_i = \sum_i A'_i \), 因此庞加莱积分不变量被时间演化所保持. 通过证明庞加莱积分不变量被保持, 我们将证明由时间演化生成的变换的 qp 部分是辛的. 由此, 我们可以像以前一样构造正则变换.

在扩展相空间中, 我们看到演化扫出一个圆柱形体积, 其端盖是区域 R' 和 R, 每个都在固定的时间. 设 R'' 是由将 R' 边界映射到区域 R 边界的轨迹扫出的二维区域.

区域 R, R' 和 R'' 共同构成了相空间状态体积的边界. 整个边界上的庞加莱-嘉当积分不变量为零. ²⁸ 因此 \[ \sum_{i=0}^n A_i - \sum_{i=0}^n A'_i + \sum_{i=0}^n A''_i = 0, \]

我们可以使用庞加莱-嘉当不变量来证明对于自治二自由度系统, 截面(适当构造)保持面积.

为此, 我们考虑一个坐标(比如 q₂)等于零的截面, 并通过累积 (q₁, p₁) 对来构造截面. 我们假设所有初始条件都具有相同的能量. 我们再次计算扩展相空间中正则投影面积的总和. 因为所有初始条件都具有相同的 q₂=0, 所以在 (q₂, p₂) 平面上的面积为零, 并且因为所有轨迹都具有相同的哈密顿量值, 所以在 (t, T) 平面上的投影面积也为零. 所以投影面积的总和恰好是截面上的区域面积. 现在让截面上的每个点演化到下一个截面穿越点. 对于截面上的每个点, 这可能需要不同的时间量. 计算映射区域的面积总和. 同样, 映射区域的所有点都具有相同的 q₂, 因此 (q₂, p₂) 平面上的面积为零, 并且它们继续具有相同的能量, 因此 (t, T) 平面上的面积为零. 所以映射区域的面积再次恰好是截面上的面积, 即 (q₁, p₁) 平面. 时间演化保持面积总和, 所以截面上的面积与映射面积相同.

因此, 只要截面点完全位于一个正则平面上, 截面就保持面积. 例如, 对于 Hénon-Heiles 截面, 我们绘制了当 x=0 且 px≥0 时 py 对 y 的值. 因此对于所有截面点, x 坐标具有固定值 0, 轨迹都具有相同的能量, 并且累积的点完全在 (py, y) 正则平面内. 所以 Hénon-Heiles 截面保持面积.

我们可以直接从作用量原理证明时间演化生成一个正则变换. 回想一下拉格朗日作用量 S 是 \[ S[q](t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} L \circ \Gamma[q]. \] 我们在推导拉格朗日方程时计算了作用量的变分. 变分是(见方程 1.33) \[ \delta_\eta S[q](t_1, t_2) = (\partial_2 L \circ \Gamma[q]) \eta \Big|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} (E[L] \circ \Gamma[q]) \eta, \] 用欧拉-拉格朗日算子 E 重写. 在推导拉格朗日方程时, 我们只考虑了保持路径端点不变的变分. 然而, 方程 (5.358) 对任意变分都成立. 这里我们考虑在可实现路径 q(其中 \(E[L] \circ \Gamma[q] = 0\))周围端点处不为零的变分. 对于这些变分, 作用量的变分只是积分项: \[ \delta_\eta S[q](t_1, t_2) = (\partial_2 L \circ \Gamma[q]) \eta \Big|_{t_1}^{t_2} = p(t_2) \eta(t_2) - p(t_1) \eta(t_1). \] 回想一下 p 和 η 是结构, 乘积意味着分量的乘积之和.

考虑一个连续的可实现路径族, 参数为 s 的路径是 \(\tilde{q}(s)\), 该路径在时间 t 的坐标是 \(\tilde{q}(s)(t)\). 我们定义 \(\tilde{\eta}(s) = D\tilde{q}(s)\); 沿族的路径变分是参数路径关于参数的导数. 设 \[ \tilde{S}(s) = S[\tilde{q}(s)](t_1, t_2) \] 是从 t₁ 到 t₂ 路径 \(\tilde{q}(s)\) 的作用量值. 沿这个路径族的动作导数是²⁹ \[ D\tilde{S}(s) = \delta_{\tilde{\eta}(s)} S[\tilde{q}(s)] = (\partial_2 L \circ \Gamma[\tilde{q}(s)]) \tilde{\eta}(s) \Big|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} (E[L] \circ \Gamma[\tilde{q}(s)]) \tilde{\eta}(s). \] 由于 \(\tilde{q}(s)\) 是一条可实现路径, \(E[L] \circ \Gamma[\tilde{q}(s)] = 0\). 所以 \[ D\tilde{S}(s) = (\partial_2 L \circ \Gamma[\tilde{q}(s)]) \tilde{\eta}(s) \Big|_{t_1}^{t_2} = \tilde{p}(s)(t_2) \tilde{\eta}(s)(t_2) - \tilde{p}(s)(t_1) \tilde{\eta}(s)(t_1), \] 其中 \(\tilde{p}(s)\) 是 \(\tilde{q}(s)\) 的共轭动量. \(D\tilde{S}\) 的 content_copy download Use code with caution. Org

\(D\tilde{S}\) 的积分是

其中 \[ h(t)(s) = \tilde{p}(s)(t) \tilde{\eta}(s)(t) = \tilde{p}(s)(t) D\tilde{q}(s)(t). \] 传统记法中, 后一个线积分写作 \[ \int_{\gamma_2} \sum_i p_i dq^i - \int_{\gamma_1} \sum_i p_i dq^i, \] 其中 \(\gamma_1(s) = \tilde{q}(s)(t_1)\) 且 \(\gamma_2(s) = \tilde{q}(s)(t_2)\).

对于一个闭合路径族(使得 \(\tilde{q}(s_2) = \tilde{q}(s_1)\)), 路径端点处作用量的差为零, 所以我们推断出 \[ \oint_{\gamma_2} \sum_i p_i dq^i = \oint_{\gamma_1} \sum_i p_i dq^i, \] 这就是积分不变量的线积分版本. 用面积积分表示, 使用斯托克斯定理, 这是 \[ \sum_i \int_{R_{i2}} dp_i dq^i = \sum_i \int_{R_{i1}} dp_i dq^i, \] 其中 \(R_{ij}\) 是第 i 个正则平面上的区域. 我们已经发现时间演化保持积分不变量, 因此时间演化生成一个正则变换.

我们使用了一个 F₂ 型生成函数来进行哈密顿-雅可比变换. 使用 F₁ 型生成函数进行等价变换. 找出对应于方程 (5.371), (5.372), 和 (5.376) 的方程.

考虑熟悉的与时间无关的哈密顿量 \[ H(t, x, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2}. \] 我们为此问题构造哈密顿-雅可比方程 \[ 0 = H(t, x, \partial_1 F_2(t, x, p')) + \partial_0 F_2(t, x, p') \] 使用 \(F_2(t, x, p') = W(t, x, p') - E(p') t\), 我们发现 \[ E(p') = H(t, x, \partial_1 W(t, x, p')). \] 明确写出来 \[ E(p') = \frac{(\partial_1 W(t, x, p'))^2}{2m} + \frac{kx^2}{2}, \] 解出 ∂₁W \[ \partial_1 W(t, x, p') = \sqrt{2m \left( E(p') - \frac{kx^2}{2} \right)}. \] 积分得到所需的 W: \[ W(t, x, p') = \int^x \sqrt{2m \left( E(p') - \frac{kz^2}{2} \right)} dz. \] 我们可以使用 W 或相应的 F₂ 作为生成函数. 首先, 取 W 作为生成函数. 我们得到

坐标变换通过微分得到 \[ x' = \partial_2 W(t, x, p') = \int^x \frac{m DE(p')}{\sqrt{2m \left( E(p') - \frac{kz^2}{2} \right)}} dz \] 然后积分得到 \[ x' = \sqrt{\frac{m}{k}} DE(p') \arcsin\left( \sqrt{\frac{k}{2E(p')}} x \right) + C(p'), \] 其中 C(p') 是某个积分常数. 反解这个, 我们得到用加'坐标和动量表示的未加'坐标 \[ x = \sqrt{\frac{2E(p')}{k}} \sin\left[ \frac{1}{DE(p')} \sqrt{\frac{k}{m}} (x' - C(p')) \right]. \] 新的哈密顿量 H' 只依赖于动量 \[ H'(t, x', p') = E(p'). \] 运动方程很简单 \[ Dx'(t) = \partial_2 H'(t, x'(t), p'(t)) = DE(p') \] \[ Dp'(t) = -\partial_1 H'(t, x'(t), p'(t)) = 0, \] 解为 \[ x'(t) = DE(p') t + x'_0 \] \[ p'(t) = p'_0 \] 对于初始条件 x'₀ 和 p'₀. 如果我们将这些 x'(t) 和 p'(t) 的表达式代入方程 (5.385), 我们发现

其中角频率是 \(\omega = \sqrt{k/m}\), 振幅是 \(A = \sqrt{2E(p')/k}\), 相位是 \(\phi = -\omega t_0 = \omega (x'_0 - C(p')) / DE(p')\). 我们也可以使用 \(F_2 = W - Et\) 作为生成函数. 新的哈密顿量为零, 所以 x' 和 p' 都是常数, 但旧变量和新变量之间的关系是

将解 \(x' = x'_0\) 和 \(p' = p'_0\) 代入并解出 x, 我们得到方程 (5.389). 所以我们再次看到这两种方法是等价的.

有趣的是注意到解依赖于常数 \(E(p')\) 和 \(DE(p')\), 但运动在任何本质方式上并不依赖于函数 E 实际上是什么. 动量 p' 是常数, 常数值由初始条件设定. 给定一个特定的函数 E, 初始条件确定了 p', 但可以不进一步指定 E 函数而获得解.

如果我们选择特定的函数 E, 我们可以得到特定的正则变换. 例如, 一个方便的选择就是 \[ E(p') = \alpha p', \] 对于某个稍后会选择的常数 α. 我们发现 \[ x = \sqrt{\frac{2\alpha p'}{k}} \sin\left( \frac{\omega}{\alpha} x' \right). \] 所以一个方便的选择是 \(\alpha = \omega = \sqrt{k/m}\), 这样 \[ x = \sqrt{\frac{2p'}{\beta}} \sin x', \]

其中 \(\beta = \sqrt{km}\). 新的哈密顿量是 \[ H'(t, x', p') = E(p') = \omega p'. \] 解就是 \(x' = \omega t + x'_0\) 和 \(p' = p'_0\). 将 x 的表达式代入 \(H(t, x, p) = H'(t, x', p')\), 我们推导出 \[ p = \sqrt{2m \left( \omega p' - \frac{k}{2} x^2 \right)} = \sqrt{2p'\beta} \cos x'. \] 这两个变换方程 (5.393) 和 (5.395) 就是我们所谓的极坐标-正则变换(方程 5.34). 我们已经证明了这个变换是正则的, 并且它解决了谐振子问题, 但它不是推导出来的. 这里我们已经推导出了这个变换, 作为哈密顿-雅可比方程解的一个特例.

我们也可以探索 E 函数的其他选择. 例如, 我们可以选择 \[ E(p') = \frac{1}{2} \alpha p'^2. \] 按照之前的相同步骤 \[ x = \sqrt{\frac{\alpha p'^2}{k}} \sin\left( \frac{\omega}{\alpha p'} x' \right). \] 所以一个方便的选择又是 \(\alpha = \omega\), 留下 \[ x = \frac{p'}{\beta} \sin\left( \frac{x'}{p'} \right) \] \[ p = \beta p' \cos\left( \frac{x'}{p'} \right), \] 其中 \(\beta = (km)^{1/4}\). 根据构造, 这个变换也是正则的, 并且也将谐振子问题带入了一个易于求解的形式. \[ H'(t, x', p') = \frac{1}{2} \omega p'^2 \] 谐振子哈密顿量已被变换成看起来很像自由粒子哈密顿量的东西. 这

非常有趣. 注意, 哈密顿量 (5.394) 没有一个明确定义的勒让德变换到等价的拉格朗日量, 而" 自由粒子" 谐振子有一个明确定义的勒让德变换: \[ L'(t, x', \dot{x}') = \frac{\dot{x}'^2}{2\omega}. \] 当然, 可能存在其他性质使得一种选择比其他选择对于特定应用更有用.

解摆的哈密顿-雅可比方程; 研究循环和振荡相空间区域. (注意: 这是一个漫长的故事, 需要一些椭圆函数的知识. )

我们可以使用哈密顿-雅可比方程来找到解决开普勒问题的正则坐标. 这是进行轨道问题微扰理论的基本第一步. 在直角坐标 (x, y, z) 中, 开普勒哈密顿量是 \[ H_r(t; x, y, z; p_x, p_y, p_z) = \frac{p^2}{2m} - \frac{\mu}{r}, \] 其中 \(r^2 = x^2 + y^2 + z^2\) 且 \(p^2 = p_x^2 + p_y^2 + p_z^2\). 开普勒问题描述了两个物体的相对运动; 它也出现在涉及轨道运动的其他问题的表述中, 例如 n 体问题. 我们尝试形式为 \(W(t; x, y, z; p'_x, p'_y, p'_z)\) 的生成函数. 哈密顿-雅可比方程则为³⁰

哈密顿-雅可比方程的解, 即生成时间演化的混合变量生成函数, 与变分原理中使用的作用量有关. 特别地, 在可实现路径上, 生成函数的导数与拉格朗日量具有相同的值.

设 \(F_2(t) = F_2(t, q(t), p'(t))\) 是 F₂ 沿路径 q 和 p' 在时间 t 的值. F₂ 的导数是

其中我们在第一项中使用了 p 关于 F₂ 的关系. 使用哈密顿-雅可比方程 (5.371) 这变成

在可实现路径上我们有 \(Dp'(t) = 0\), 所以在可实现路径上 F₂ 的时间导数与路径上的拉格朗日量相同. 任何路径上拉格朗日量的时间积分是该路径的作用量. 这意味着, 除了在可实现路径上是常数但在变换后的相空间坐标 q' 和 p' 中可能是函数的附加项之外, 求解哈密顿-雅可比方程的 F₂ 与可实现路径的拉格朗日作用量具有相同的值.

对于 F₁, 可以得出相同的结论. 除了在可实现路径上是常数但在变换后的相空间坐标 q' 和 p' 中可能是函数的附加项之外, 求解相应哈密顿-雅可比方程的 F₁ 与可实现路径的拉格朗日作用量具有相同的值.

我们定义函数 \(\bar{F}(t_1, q_1, t_2, q_2)\) 为满足 \(q(t_1)=q_1\) 和 \(q(t_2)=q_2\) 的可实现路径 q 的作用量值. 所以 \(\bar{F}\) 满足 \[ \bar{F}(t_1, q(t_1), t_2, q(t_2)) = S[q](t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} L \circ \Gamma[q]. \]

对于在端点处不一定为零且围绕可实现路径 q 的变分 η, 作用量的变分是 \[ \delta_\eta S[q](t_1, t_2) = \partial_2 L \circ \Gamma[q] \eta \Big|_{t_1}^{t_2} = p(t_2) \eta(t_2) - p(t_1) \eta(t_1). \] 或者, 方程 (5.423) 中 S[q] 的变分给出

比较方程 (5.424) 和 (5.425), 并利用变分 η 是任意的这一事实, 我们发现 \[ \partial_1 \bar{F}(t_1, q(t_1), t_2, q(t_2)) = -p(t_1) \] \[ \partial_3 \bar{F}(t_1, q(t_1), t_2, q(t_2)) = p(t_2). \] \(\bar{F}\) 关于坐标参数的偏导数给出了动量. 抽象掉路径, 我们有 \[ \partial_1 \bar{F}(t_1, q_1, t_2, q_2) = -p_1 \] \[ \partial_3 \bar{F}(t_1, q_1, t_2, q_2) = p_2. \] 这有点像 F₁ 型生成函数关系, 但这里有两个时间. 给定一条可实现路径 q, 使得 \(q(t_1)=q_1\) 且 \(q(t_2)=q_2\), 我们得到关于时间槽的偏导数:

因此

类似地

这些是哈密顿-雅可比方程对, 在路径的端点处计算.

解方程 (5.427) 得到 q₂ 和 p₂ 作为 t₂ 以及初始状态 t₁, q₁, p₁ 的函数, 我们得到用 \(\bar{F}\) 表示的系统时间演化. 函数 \(\bar{F}\) 生成时间演化.

函数 \(\bar{F}\) 可以用求解哈密顿-雅可比方程的 F₂ 或 F₁ 表示. 我们可以通过使用哈密顿-雅可比方程的 F₂ 解来计算时间演化, 以用常数 q' 和 p' 表示状态 \((t_1, q_1, p_1)\) 在给定时间 t₁. 然后我们可以执行后续变换, 在不同的时间 t₂ 将 q' p' 变换回原始状态变量, 得到状态 \((t_2, q_2, p_2)\). 正则变换的复合是正则的. 复合的生成函数是每个步骤生成函数的差值: \[ \bar{F}(t_1, q_1, t_2, q_2) = F_2(t_2, q_2, p') - F_2(t_1, q_1, p'), \] 条件是 \[ \partial_2 F_2(t_2, q_2, p') - \partial_2 F_2(t_1, q_1, p') = 0, \] 这允许我们消除 p'.

a. 计算匀加速粒子作为端点和时间函数的拉格朗日作用量. 用它构造从给定初始状态出发的时间演化的正则变换. b. 求解匀加速粒子的哈密顿-雅可比方程, 得到使变换后哈密顿量为零的 F₂. 证明拉格朗日作用量可以表示为这个 F₂ 的两个应用的差值.

相空间函数 F 的值如果其参数改变则会改变. 我们定义函数 F 的函数 \(E'_{\epsilon, W}\), 其相空间坐标为 (t, q, p), 通过 \[ E'_{\epsilon, W} F = F \circ C'_{\epsilon, W}. \] 我们称 \(E'_{\epsilon, W} F\) 为函数 F 的李变换. 特别地, 李变换推进坐标和动量选择器函数 \(Q=I_1\) 和 \(P=I_2\):

所以我们可以重述方程 (5.436) 为: \[ (E'_{\epsilon, W} F)(t, q', p') = F(t, (E'_{\epsilon, W} Q)(t, q', p'), (E'_{\epsilon, W} P)(t, q', p')). \] 更一般地, 李变换深入到复合中: \[ (E'_{\epsilon, W} (F \circ G)) = F \circ (E'_{\epsilon, W} G) \]

例如, 假设我们正在研究一个系统, 其中旋转会是一个有用的变换. 为了构造这样的变换, 我们注意到我们打算让一个构型坐标以给定速率均匀增加. 在这种情况下, 我们希望一个角度递增. 仅由与该构型坐标共轭的动量组成的哈密顿量总是能完成这项工作. 所以角动量是旋转的合适生成元.

如果使用极坐标 r, θ 和共轭动量 pr, pθ, 分析很简单. 生成元 W 就是: \[ W(\tau; r, \theta; p_r, p_\theta) = p_\theta \]

假设我们有一个由哈密顿量控制的系统 \[ H(t; x, y; p_x, p_y) = \frac{1}{2}(p_x^2 + p_y^2) + \frac{1}{2} a (x-y)^2 + \frac{1}{2} b (x+y)^2. \] 哈密顿方程耦合了 x 和 y 的运动

我们可以通过执行 π/4 的坐标旋转来解耦系统. 这是由 \[ W(\tau; x, y; p_x, p_y) = x p_y - y p_x, \] 生成的,

这与上面的类似, 但没有 z 自由度. 演化 \((τ; x, y; p_x, p_y)\) 由 W 演化 π/4 间隔给出正则旋转:

用这个时间无关变换复合哈密顿量 H 得到新的哈密顿量 \[ H'(t; x', y'; p'_x, p'_y) = (\frac{1}{2} p_x^{'2} + b x^{'2}) + (\frac{1}{2} p_y^{'2} + a y^{'2}), \] 这是一个两个解耦谐振子的哈密顿量. 因此, 最初的耦合问题已通过李变换转化为一种新形式, 其解很容易.

将 \((1+x)^n\) 展开为泰勒级数. 当然, 对于正整数 n, 除了前 n+1 项外, 所有系数都必须为零. 然而, 在一般情况下, 对于符号 n, 系数是 n 的相当复杂的多项式. 例如, 你会发现第七项是:

(+ (* 1/5040 (expt n 7))
   (* -1/240 (expt n 6))
   (* 5/144 (expt n 5))
   (* -7/48 (expt n 4))
   (* 29/90 (expt n 3))
   (* -7/20 (expt n 2))
   (* 1/7 n))

这些项必须计算为帕斯卡三角形中的项. 特别是, 对于 n<7, 这个多项式必须为零. 这是如何安排的?

现在用动力学函数玩这个游戏, 我们希望提供一个可以指数化的类导数算子, 它将给出推进算子. 关键思想是用泊松括号表示函数的导数. 方程 (3.75) 展示了如何一般地做到这一点: \[ D(F \circ \sigma) = (\{F, H\} + \partial_0 F) \circ \sigma \] 我们定义算子 \(D_H\) 为 \[ D_H F = \partial_0 F + \{F, H\}, \] 所以 \[ D_H F \circ \sigma = D(F \circ \sigma), \] 并且这个算子的迭代可以用来计算更高阶的导数: \[ D^n (F \circ \sigma) = D_H^n F \circ \sigma \] 因此我们可以重写路径函数 \(f=F \circ \sigma\) 在关于 H 的间隔 ε 内的推进, 作为应用于相空间函数 F 的导数算子 \(D_H\) 的幂级数, 然后与路径复合: \[ f(t+\epsilon) = (e^{\epsilon D} f)(t) = (e^{\epsilon D_H} F) \circ \sigma(t) \] 实际上, 我们可以在这个级数收敛时用它来实现时间推进算子.

证明方程 (5.466) 是正确的.

比较 \(D_H\) 与全时间导数算子. 回想一下 \[ D_t F \circ \Gamma[q] = D(F \circ \Gamma[q]) \] 将路径状态空间函数的导数抽象为路径导数的函数. 定义另一个类导数算子 \(D_L\), 类似于 \(D_H\), 它给出函数沿是给定拉格朗日量拉格朗日方程解的拉格朗日状态路径的时间导数. 这可能有何用处?

设 H 是一个哈密顿量. 如果 F 和 H 都是时间无关的, 我们可以简化 F 推进的计算. 在这种情况下, 我们定义李导数算子 \(L_H\) 使得 \[ L_H F = \{F, H\} \] 读作" F 关于 H 的李导数" . ³⁵ 所以 \[ D_H = \partial_0 + L_H \] 对于时间无关的 F \[ D(F \circ \sigma) = L_H F \circ \sigma \] 我们可以迭代这个过程来计算更高阶的导数. 所以 \[ L_H^2 F = \{\{F, H\}, H\}, \] F 关于 H 的连续更高阶泊松括号给出了在轨迹上求值时的连续更高阶导数. 设 \(f = F \circ \sigma\), 我们有 \[ Df = (L_H F) \circ \sigma \] \[ D^2 f = (L_H^2 F) \circ \sigma \] \[ \dots \] 因此我们可以重写路径函数 f 在关于 H 的间隔 ε 内的推进, 作为应用于相空间函数 F 的李导数算子的幂级数, 然后与路径复合: \[ f(t+\epsilon) = (e^{\epsilon D} f)(t) = (e^{\epsilon L_H} F) \circ \sigma(t) \] 我们可以用级数实现时间推进算子 \(E'_{\epsilon, H}\) \[ E'_{\epsilon, H} F = (e^{\epsilon L_H} F), \]

我们可以使用李变换作为计算工具来局部检查动力学系统的演化. 我们将 F 的李导数定义为类导数算子, 相对于给定的哈密顿函数 H: ³⁶

(define ((Lie-derivative H) F)
  (Poisson-bracket F H))

我们还定义一个过程来实现李变换: ³⁷

(define (Lie-transform H t)
  (exp (* t (Lie-derivative H))))

让我们首先检查质量为 m, 弹簧常数为 k 的简谐振子位置的李级数. 注意我们通过传递一个合适的哈密顿函数和一个演化区间来构成李变换(级数)算子. 然后将得到的算子赋予位置选择器过程. 李变换算子返回新的位置选择器过程, 当给定相空间坐标 x₀ 和 p₀ 时, 它返回从这些坐标演化 dt 区间后选择的位置.

a. 设 W 和 W' 是两个相空间状态函数. 使用泊松括号雅可比恒等式证明 \[ [L_W, L_{W'}] = -L_{\{W, W'\}}. \] b. 考虑给出角动量分量(用直角正则坐标表示)的相空间状态函数 \(J_x(t; x, y, z; p_x, p_y, p_z) = y p_z - z p_y\) \(J_y(t; x, y, z; p_x, p_y, p_z) = z p_x - x p_z\) \(J_z(t; x, y, z; p_x, p_y, p_z) = x p_y - y p_x\)

证明 \[ [L_{J_x}, L_{J_y}] + L_{J_z} = 0. \] c. 将算子的雅可比恒等式与泊松括号雅可比恒等式关联起来.

推导组合不可交换算子指数的规则: \[ e^A e^B = e^{A+B + \frac{1}{2}[A, B] + \dots}. \]

计算变换 (C alpha beta epsilon order) 的李级数截断各阶的辛检验残差.

我们可以通过执行额外的微扰步骤来改进微扰解. 总体计划与之前相同. 我们执行一个新的生成元的李变换, 该生成元消除哈密顿量中的期望项.

在第一步之后, 哈密顿量到二阶为,

执行一个带有生成元 W' 的李变换, 新的哈密顿量是 \[ H'' = e^{\epsilon^2 L_{W'}} H' = H_0 + \epsilon^2 (L_{W'} H_0 + H_2) + \dots. \] 因此 W' 的条件是二阶项被消除 \[ L_{W'} H_0 + H_2 = 0. \] 这是 \[ -\frac{p'}{\alpha} \partial_1 W'(t, \theta', p') + \frac{\alpha \beta^2}{4(p')^2} (1 - \cos(2\theta')) = 0. \] 一个满足此条件的生成元是 \[ W'(t, \theta', p') = \frac{\alpha^2 \beta^2}{4(p')^3} \theta' + \frac{\alpha^2 \beta^2}{8(p')^3} \sin(2\theta'). \] 这个生成元有两个贡献, 一个与 \(\theta'\) 成正比, 另一个涉及 \(\theta'\) 的三角函数.

由此李变换产生的相空间坐标变换如前所述. 对于给定的初始条件, 我们首先执行对应于 W 的逆变换, 然后是对应于 W' 的逆变换, 使用 H₀ 求解系统的演化, 然后使用 W' 和 W 变换回来. 近似解是

用这种方式得到的解与摆的实际演化在图 6.5 中进行了比较. 所有李级数中的项都包括到 ε⁴ 阶. 微扰解, 包括这第二个微扰步骤, 在初始段与实际解非常接近, 但随后两者开始发散. 时间间隔跨度为 10. 在更长的时间内, 发散实际上很严重, 如图 6.6 所示. 时间间隔跨度为 100. 这些解从 θ=0 开始, pθ=0.7. 参数为 α=1.0 和 β=0.1.

微扰解的一个问题是 W' 中存在项以及相应的相空间坐标变换与 \(\theta'\) 成正比, 而 \(\theta'\) 随时间线性增长. 因此解只能在短时间内有效; 有效区间取决于特定轨迹的频率以及乘以各种项的系数的大小. 解的微扰表示中这种与时间成比例的项称为长期项. 它们限制了微扰理论的有效性到短时间.

对于长期项问题有一个简单的解决方案, 由 Lindstedt 和 Poincaré 发展. 每个微扰步骤的目标是消除哈密顿量中阻碍求解的项. 然而, H' 中导致生成元 W' 中长期项的项实际上并不阻碍求解. 因此, 更好的程序是将该项保留在哈密顿量中, 并找到仅消除 θ' 中周期性项的生成元 W''. 因此 W'' 满足 \[ -\frac{p'}{\alpha} \partial_1 W''(t, \theta', p') - \frac{\alpha \beta^2}{4(p')^2} \cos(2\theta') = 0. \] 生成元是 \[ W''(t, \theta', p') = \frac{\alpha^2 \beta^2}{8(p')^3} \sin(2\theta'). \] 用这个生成元执行李变换后, 新的哈密顿量是 \[ H''(t, \theta'', p'') = \frac{(p'')^2}{2\alpha} + \epsilon^2 \frac{\alpha \beta^2}{4(p'')^2} + \dots. \]

包括到 ε² 阶的项, 解是 \[ \theta'' = \theta''_0 + \left( \frac{p''_0}{\alpha} - \epsilon^2 \frac{\alpha \beta^2}{2(p''_0)^3} \right) (t - t_0) \] \[ p'' = p''_0. \] 我们像以前一样通过复合变换, 修正哈密顿量的解以及逆变换来构造给定初始条件的解. 近似解是

结果相空间演化如图 6.7 所示. 现在微扰解是相平面中的一条闭合曲线, 并且与实际解非常一致.

通过修改哈密顿量的可解部分, 我们正在修改解的频率. 长期项的出现

是因为我们试图用一个频率的傅立叶级数来近似另一个频率的解. 作为一个类比, 考虑

周期项乘以时间多项式. 这些多项式是周期函数幂级数的初始段. 无限级数是收敛的, 但如果级数被截断, 误差在长时间内会很大.

将微扰解继续到更高阶现在是对我们已经执行的步骤的直接重复. 在微扰解的每一步, 哈密顿量的可解部分都会有新的贡献, 这些贡献吸收了潜在的长期项. 贡献恰好是在哈密顿量写成傅立叶级数后哈密顿量的角度无关部分. 傅立叶级数的常数部分与哈密顿量关于角度的平均值相同. 因此, 在微扰理论的每一步, 微扰的平均值都包含在哈密顿量的可解部分中, 周期部分通过李变换消除.

更具体地, 考虑周期驱动摆. 我们将在扩展相空间中为驱动摆开发近似解, 将其视为微扰转子. 我们使用哈密顿量 \[ H(t, \theta, p) = \frac{p^2}{2ml^2} - ml(g - A\omega^2 \cos(\omega t)) \cos\theta. \] 我们可以通过进入扩展相空间来消除显式时间依赖性. 哈密顿量是

常数为 \(\alpha=ml^2\), \(\beta=mlg\), \(\gamma=\frac{1}{2}mlA\omega^2\).

为了将驱动摆近似为微扰转子, 我们选择 \[ H_0(\tau; \theta, t; p, T) = T + \frac{p^2}{2\alpha} \] \[ H_1(\tau; \theta, t; p, T) = -\beta \cos\theta + \gamma \cos(\theta + \omega t) + \gamma \cos(\theta - \omega t). \] 注意微扰 H₁ 在其泊松级数中只有三项, 所以在第一步微扰中只有三个区域将从适用域中排除. 微扰 H₁ 特别简单: 它只有三项, 并且系数是常数. 消除 H₁ 中 ε 阶项的李级数生成元, 满足 \[ \{H_0, W\} + H_1 = 0, \] 是 \[ W(\tau; \theta, t; p, T) = -\frac{\beta}{\omega_r(p)} \sin\theta + \frac{\gamma}{\omega_r(p) + \omega} \sin(\theta + \omega t) + \frac{\gamma}{\omega_r(p) - \omega} \sin(\theta - \omega t), \] 其中 \(\omega_r(p) = \partial_{2,0} H_0(\tau; \theta, t; p, T) = p/\alpha\) 是未受扰转子频率.

由此产生的近似解有三个区域存在小分母, 因此有三个区域被排除在微扰解的适用范围之外. 当 \(\omega_r(p)\) 接近 0, ω 和 -ω 时, 区域被排除. 在这些区域之外, 微扰解效果很好, 就像转子近似中的摆一样. 不幸的是, 驱动摆相空间的一些更有趣的区域被排除了: 我们发现无驱动摆残余的区域被排除了, 摆自转与驱动同步的两个共振区域也被排除了. 我们需要开发方法来近似这些区域. content_copy download Use code with caution. Org

共振哈密顿量 (6.64) 具有单一自由度, 因此是可解的(可简化为求积). 我们可以利用解仅在共振的直接邻域内有效这一事实来发展一个近似解析解. 共振哈密顿量可以近似为一个广义摆哈密顿量. 设 \[ H''_{n,0}(t; \sigma, \theta'; \Sigma, \Theta') = \hat{H}_0(n_1 \Sigma, n_2 \Sigma + \Theta') + \epsilon A_0(n_1 \Sigma, n_2 \Sigma + \Theta') \] 和 \[ H''_{n,1}(t; \sigma, \theta'; \Sigma, \Theta') = \epsilon A_n(n_1 \Sigma, n_2 \Sigma + \Theta') \cos(\sigma). \] 共振哈密顿量是 \[ H''_n = H''_{n,0} + \epsilon H''_{n,1}. \] 定义共振中心 \( \Sigma_n \) 为共振频率为零的要求 \[ \partial_{2,0} H''_{n,0}(t; \sigma, \theta'; \Sigma_n, \Theta') = 0. \] 现在将共振的两部分在共振中心展开:

和 \[ H''_{n,1}(t; \sigma, \theta'; \Sigma, \Theta') = H''_{n,1}(t; \sigma, \theta'; \Sigma_n, \Theta') + \dots. \] \(H''_{n,0}\) 展开的第一项是常数, 可以忽略. 第二项的系数为零, 根据 \( \Sigma_n \) 的定义. 第三项是第一个重要项. 我们假设 \(H''_{n,1}\) 的第一项是非零常数. 现在共振处 Σ 中分离线的尺度通常与 \( \sqrt{\epsilon} \) 成正比. 因此 \(H''_{n,0}\) 的第三项和 \(H''_{n,1}\) 的第一项都与 ε 成正比. 后续项的阶数更高. 只保留 ε 阶项, 近似共振哈密顿量的形式为 \[ \frac{(\Sigma - \Sigma_n)^2}{2\alpha'} - \beta' \cos\sigma, \] 这是动量中心平移的摆的哈密顿量. 这是解析可解的.

考虑周期驱动摆在共振 \(\omega_r(p) = \omega\) 附近的行​​为. 驱动摆的哈密顿量 (6.54) 在 H₁ 中有三个共振项. 完整生成元 (6.56) 有三个项, 旨在消除哈密顿量中相应的共振项. 由此产生的近似解在三个共振 \(\omega_r(p) = 0\), \(\omega_r(p) = \omega\), \(\omega_r(p) = -\omega\) 附近都有小分母.

为了在 \(\omega_r(p) = \omega\) 共振附近发展共振近似, 我们不将相应的项包含在生成元中, 以便相应的项留在哈密顿量中. 给出完整生成元 (6.56) 各项的名称是有帮助的:

完整的生成元是 \(W^0 + W^- + W^+\).

为了研究在 \(\omega_r(p) = \omega\)(" " 共振)附近相空间中的运动, 我们使用排除相应项的生成元 \[ W_ = W⁰ + W^-. \] 使用这个生成元, 变换后的哈密顿量是 \[ H_+(\tau; \theta, t; p, T) = T + \frac{p^2}{2\alpha} + \gamma \cos(\theta - \omega t) + \dots. \] 排除高阶项, 这个哈密顿量只有一个坐标组合, 因此可以通过进行一个正则变换到一个哈密顿量, 该哈密顿量在除一个自由度之外的所有自由度中都是循环的. 通过混合变量生成函数定义变换 \[ F_2(\tau; t, \theta; \Sigma, T') = (\theta - \omega t) \Sigma + t T', \] 给出变换 \[ \sigma = \theta - \omega t \] \[ t = t' \] \[ p = \Sigma \] \[ T = T' - \omega \Sigma. \] 在这些新坐标中, 共振哈密顿量是

这个哈密顿量在 t' 中是循环的, 所以解是 H'+ 在 (σ, Σ) 中的等值线. 实际上这里可以说的更多, 因为 H'+ 已经是摆的形式, 在 Σ 方向上平移了 αω, 并且在相位上平移了 π. 相移 π 的出现是因为余弦项的符号是正的, 而不是像通常摆那样是负的. 等值线的草图如图 6.8 所示.

验证共振区域的半宽是 \(2\sqrt{\alpha\gamma}\).

验证使用生成元 W₊, 变换后的哈密顿量由方程 (6.75) 给出.

驱动摆在 \(\omega_r(p) = \omega\) 共振附近的近似解是 \[ (\tau; \theta, t; p, T) = (E'_{\epsilon, W_+} E''_{\tau-\tau_0, H'_+} E''_{-\epsilon, W_+} I)(\tau_0; \theta_0, t_0; p_0, T_0). \] 为了找出近似解对实际驱动摆建模的程度, 我们使用这个近似解制作一个截面, 并将其与实际驱动摆的截面进行比较. 共振区域中近似解的截面如图 6.9 所示. 实际驱动摆的截面如图 6.10 所示. 对应关系出奇地好, 但实际截面的某些特征没有被表示出来. 例如, 实际分界线附近存在一个小的混沌区. 注意共振岛如何不对称于常数动量线. 共振哈密顿量对称于 \(\Sigma = \alpha\omega\), 所以其本身会给出一个对称的共振岛. 必要的畸变是由消除其他共振的 W₊ 变换引入的.

\(\omega_r(p) = 0\) 共振附近的微扰解与 \(\omega_r(p) = \omega\) 和 \(\omega_r(p) = -\omega\) 共振的微扰解平滑地合并. 我们可以通过使用每个相空间区域的适当共振解来构造一个复合微扰解. 复合微扰解的截面如图 6.10 所示. 实际驱动摆的相应截面也显示出来. 微扰解捕捉到了实际截面上看到的许多特征. 然而, 一阶微扰解没有捕捉到两个主共振之间的共振岛或主共振区域内包含的次级岛链. 一阶微扰解没有

显示出实际驱动摆截面上明显的分界线附近的混沌区.

我们看到, 从一阶微扰解对各种共振区域的比较来看, 实际驱动摆的截面可以通过组合为每个共振发展的近似来近似构造. 共振区域的形状被消除邻近共振的变换所扭曲, 因此产生的片段一致地拼接在一起. 每个共振区域的预测宽度与实际宽度一致: 它没有因为消除其他共振项而引入的区域扭曲而显著改变. 实际截面的所有特征都没有在这个一阶近似的合成中再现: 存在混沌区和岛屿未被解释.

对于更大的驱动, 一阶微扰导出的近似更差. 在图 6.11 中, 驱动强度增加了五倍, 我们失去了分隔共振区域的不变曲线. 主要的共振岛屿持续存在, 但分界线附近的混沌区已合并成一个大的混沌海.

图 6.11 中更强驱动摆的一阶微扰解仍然相当好地近似了主共振岛的中心, 但当我们移出并遇到在 \(\omega_r(p) = \omega\) 共振区域可见的次级岛屿时, 它就失败了. 这里两个区域的近似不太吻合. 混沌海出现在微扰解不匹配的区域.

主共振岛的位置和宽度通常可以直接从哈密顿量中读出, 当表示为泊松级数时. 对于微扰级数中的每一项, 都存在一个相应的共振岛. 岛屿的宽度通常可以简单地从哈密顿量中的系数计算出来. 因此, 仅仅通过查看哈密顿量, 我们就可以很好地了解截面上会看到什么样的行为. 例如, 在驱动摆中, 哈密顿量 (6.53) 有三项. 我们可以预料到, 仅仅通过查看哈密顿量, 截面上就会发现三个主要的共振岛. 我们知道这些岛屿将位于

共振角组合缓慢的地方. 所以对于周期驱动摆, 共振发生在 \(\omega_r(p) = \omega\), \(\omega_r(p) = 0\) 和 \(\omega_r(p) = -\omega\) 附近. 可以用一个简单的计算来计算共振岛的近似宽度.

随着驱动大小的增加, 分界线附近的混沌区变大, 然后合并成一个大的混沌海. 共振重叠判据给出了这种情况发生时间的解析估计. 基本思想是比较邻近共振宽度的总和与它们的分离. 如果半宽之和大于分离距离, 则共振重叠判据预测在重叠共振附近将存在大尺度混沌行为. 在周期驱动摆的情况下, \(\omega_r(p)=0\) 共振的半宽是 \(2\sqrt{\alpha\beta}\), \(\omega_r(p)=\omega\) 共振的半宽是 \(2\sqrt{\alpha\gamma}\)(见图 6.12). 共振的分离是 \(\alpha\omega\). 所以如果 \[ 2\sqrt{\alpha\beta} + 2\sqrt{\alpha\gamma} \ge \alpha\omega. \] 则发生共振重叠. 驱动的幅度通过 γ 进入. 求解, 我们发现共振重叠发生的 γ 值. 对于上面图中使用的参数 \(\alpha=\beta=1, \omega=5\), 共振重叠值为 \(\gamma = 9/4\). 我们看到, 事实上, 混沌区在 \(\gamma = 5/4\) 时已经合并. 因此在这种情况下, 共振重叠判据高估了获得大尺度混沌行为所需的共振强度. 这通常是共振重叠判据的典型情况.

思考为什么共振重叠判据通常高估获得大尺度混沌所需强度的一种方法是, 还有其他需要考虑的效应. 例如, 随着驱动增加, 主共振之间出现二阶共振; 这些共振占据空间, 因此共振重叠发生在比仅考虑主共振所预期的更小的驱动下. 此外, 每个分界线处的混沌区具有一定的宽度, 也必须占据面积.

随着驱动的增加, 出现了各种新的岛屿, 这些岛屿在原始哈密顿量中并不明显. 要找到这些区域中运动的近似, 我们可以使用更高阶的微扰理论. 基本计划与之前相同. 在任何阶段, 哈密顿量(可能是早期微扰理论阶段的结果)都表示为泊松级数(多角傅立叶级数). 在感兴趣区域内非共振的项通过李变换消除. 剩余的共振项仅涉及角度的一个组合, 因此通过进行到共振坐标的正则变换是可解的. 我们完成求解并将变换转换回原始坐标.

让我们找到在图 6.10 中可见的 \(\omega_r(p)=0\) 共振和 \(\omega_r(p)=-\omega\) 共振之间的二阶岛屿的微扰近似. 细节很繁琐, 所以我们只给出一些中间结果.

这个共振不靠近三个主共振, 所以我们可以使用完整生成元 (6.56) 来消除哈密顿量中的那三个主共振项. 在这个微扰步骤之后, 哈密顿量看起来太毛糙了.

我们将变换后的哈密顿量展开为泊松形式, 并将项分为共振项和非共振项. 非共振项可以通过李变换消除. 这个李变换使哈密顿量中的共振项保持不变, 并对截面上的曲线引入额外的扭曲. 这种后一种扭曲在这种情况下很小, 计算起来非常麻烦, 所以我们干脆不包括这种效应. 共振哈密顿量则为(经过相当多的代数运算) \[ H_{2:1}(\tau; \theta, t; p, T) = \frac{p^2}{2\alpha} + T + \frac{\alpha\beta\gamma}{4p^2} \frac{\alpha^2\omega^2 + 2\alpha\omega p + 2p^2}{(\alpha\omega + p)^2} \cos(2\theta + \omega t) \] 这是可解的, 因为它只有一个坐标组合.

我们可以通过进行摆近似来得到一个解析解. 哈密顿量在动量 p 中已经是二次的, 所以我们只需要在共振中心 \(p_{2:1} = \alpha\omega / 2\) 处计算势能项的系数. 共振哈密顿量, 在摆近似中, 是 \[ H'_{2:1}(\tau; \theta, t; p, T) = \frac{p^2}{2\alpha} + \frac{2\beta\gamma}{\alpha\omega^2} \cos(2\theta + \omega t). \] 进行到共振变量 \(\sigma = 2\theta - \omega t\) 的变换将此简化为具有单一自由度的摆哈密顿量. 将这个摆哈密顿量的解析解与由完整 W 生成的变换相结合, 我们得到一个近似的微扰解 \[ (\tau; \theta, t; p, T) = (E'_{\epsilon, W} E''_{\tau-\tau_0, H'_{2:1}} E''_{-\epsilon, W} I)(\tau_0; \theta_0, t_0; p_0, T_0). \] 使用这个解在适当共振区域的截面如图 6.13 所示. 将其与实际截面(图 6.10)进行比较, 我们看到近似解很好地代表了这个共振运动.

作为第二个应用, 我们使用二阶微扰理论来研究周期驱动摆的倒置垂直平衡的稳定性.

实际上, 过程与刚才类似, 但这里我们关注一组不同的共振项. 对于垂直平衡缓慢变化的项是那些涉及 θ 但不涉及 t 的项, 例如 \(\cos(\theta)\) 和 \(\cos(2\theta)\). 所以我们想使用生成元 \(W^+ + W^-\) 来消除涉及 θ 和 ωt 组合的非共振项, 同时保留中心共振. 用这个生成元对哈密顿量进行李变换后, 我们将变换后的哈密顿量写成泊松级数并收集共振项. 变换后的共振哈密顿量是 \[ H'_V(\tau; \theta, t; p, T) = \frac{p^2}{2\alpha} - \beta\epsilon \cos\theta + \frac{\alpha\gamma^2\epsilon^2(\alpha^2\omega^2 + p^2)}{2(\alpha^2\omega^2 - p^2)^2} \cos(2\theta) + \dots. \] 图 6.14 显示了这个共振哈密顿量 \(H'_V\) 的等值线. 图 6.14 显示了相同参数下实际驱动摆的截面. 共振哈密顿量的行为与实际驱动的行为无法区分

摆. 理论在这里效果特别好; 没有邻近的共振, 因为驱动频率很高.

我们可以通过对不动点 θ=π, p=0 的共振哈密顿量进行线性稳定性分析来获得倒置垂直平衡稳定性的解析估计. 如果我们首先在共振中心进行摆近似, 代数会稍微简单一些. 共振哈密顿量近似为 \[ H''_V(\tau; \theta, t; p, T) = \frac{p^2}{2\alpha} - \beta\epsilon \cos\theta + \frac{\gamma^2\epsilon^2}{2\alpha\omega^2} \cos(2\theta) + \dots. \] 倒置垂直平衡的线性稳定性分析表明稳定性条件为 \[ \gamma^2 > \alpha \beta \omega^2. \] 用原始物理参数表示, 垂直平衡线性稳定的条件是 \[ \frac{\omega}{\omega_s} \frac{A}{l} > \sqrt{2}, \] 其中 \(\omega_s = \sqrt{g/l}\), 小幅度振荡频率. 要使垂直平衡稳定, 驱动幅度和驱动频率的标度乘积必须足够大.

这个解析估计与图 6.15 中驱动摆的行为进行了比较. 对于任何给定的参数赋值, 可以通过第 4 章的方法测试驱动摆倒置垂直平衡的线性稳定性: 数值上, 这涉及确定共振中心参考轨道的特征多项式的根. 在图中, 对参数网格的每个点评估了倒置垂直平衡的稳定性. 对于线性稳定的参数组合显示一个点. 对角线是倒置平衡稳定区域的解析边界: \((\omega/\omega_s)(A/l) = \sqrt{2}\). 我们看到稳定区域的边界与微扰理论推导出的解析估计吻合得很好. 注意, 对于非常高的驱动幅度, 存在另一个不稳定性区域, 这个微扰分析没有捕捉到.

a. 详细说明图 6.10 中显示的主驱动摆共振的微扰理论. b. 详细说明倒置垂直平衡稳定性的微扰理论. 推导共振哈密顿量, 并绘制其等高线. 将这些等高线与各种参数的截面进行比较. c. 进行导致方程 (6.87) 的线性稳定性分析. 图 fig:dpend-inverted-summary 的上部发生了什么? 为什么当判据 (6.87) 预测稳定性时系统不稳定? 使用截面来研究这个参数区域.

自旋-轨道问题的哈密顿量, 在 2.11.2 节中描述, 是

其中忽略的项在偏心率 e 中阶数更高. a. 找出三个主共振的宽度和中心. 将宽度的预测与截面上看到的岛屿宽度进行比较. 写出共振重叠判据, 并与向大尺度混沌过渡的数值实验进行比较. b. 同步岛的不动点偏离平均自转速率. 这表明月球自转存在" 受迫" 振荡. 通过使用李变换消除两个非同步共振, 为同步岛中的运动发展一个微扰理论. 预测截面上同步共振中心的固定点位置, 从而预测月球受迫振荡的幅度. content_copy download Use code with caution. Org